Йорданова алгебра

Йорданова алгебра — неассоциативная алгебра над полем, умножение в которой коммутативно и удовлетворяет тождеству Йордана: $(xy)(xx)=x(y(xx))$.

Произведение двух элементов $x$ и $y$ в йордановой алгебре часто обозначается $x\circ y$, в частности, чтобы избежать путаницы с произведением связанной ассоциативной алгебры.

Из аксиом следует, что умножение обладает свойством степенной ассоциативности, то есть $x^{n}=x\circ \cdots \circ x$ не зависит от расстановки скобок, а также, что $x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)$ для всех положительных целых чисел $m$ и $n$. Ассоциативная алгебра является йордановой тогда и только тогда, когда она коммутативна.

Введены Паскуалем Йорданом в 1933 году в попытке формализовать понятие алгебры наблюдаемых величин в квантовой электродинамике. Вскоре было показана их неприменимость для этих целей, однако с тех пор они нашли множество других применений в математике. Первоначально эти алгебры назывались «r-числовыми системами», но были переименованы в «йордановы алгебры» Албертом (1946), который начал систематическое изучение общих йордановых алгебр.

Специальные йордановы алгебры

Для любой ассоциативной алгебры $A$ характеристики, отличной от 2, можно построить йорданову алгебру $A^{+}$, заменив умножение на йорданово произведение, определяемое как $x\circ y=(xy+yx)/2$.

Таким образом введённые йордановы алгебры и их подалгебры называются специальными йордановыми алгебрами, а все остальные — исключительными йордановыми алгебрами. Конструкция аналогична алгебре Ли, связанной с $A$, произведение в которой — скобка Ли — определяется коммутатором $[x,y]=xy-yx$.

Теорема Ширшова — Кона утверждает, что любая йорданова алгебра с двумя образующими является специальной</ref>. Теорема Макдональда: любой многочлен от трёх переменных, имеющий степень один по одной из переменных и обращающийся в нуль в каждой специальной йордановой алгебре, обращается в нуль и в каждой йордановой алгебре.

Если $(A,\sigma )$ — ассоциативная алгебра с инволюцией $\sigma$, то, в связи с тем, что $\sigma (xy+yx)=xy+yx$, множество всех элементов, фиксируемых инволюцией (иногда называемых эрмитовыми элементами), образуют подалгебру алгебры $A^{+}$, которую иногда обозначают как $H(A,\sigma )$ и называют эрмитовой йордановой алгеброй.

Примеры

Множество самосопряженных действительных, комплексных или кватернионных матриц с умножением $(xy+yx)/2$ образуют специальную йорданову алгебру.

Набор самосопряжённых матриц 3×3 над октонионами с умножением $(xy+yx)/2$ — 27-мерная исключительная йорданова алгебра (исключительная, поскольку октонионы неассоциативны). Это был первый пример алгебры Алберта. Её группа автоморфизмов — исключительная группа Ли $F_{4}$. Является единственной простой исключительной йордановой алгеброй над комплексными числами. Над вещественными числами существует три изоморфных класса простых исключительных йордановых алгебр.

Дифференцирования и структурная алгебра

Дифференцирование йордановой алгебры $A$ — эндоморфизм $D$ алгебры $A$ такой, что $D(xy)=D(x)y+xD(y)$. Дифференцирования образуют алгебру Ли $\mathbf {der} (A)$. Из тождества Йордана следует, что если $x$ и $y$ — элементы алгебры $A$, то эндоморфизм, переводящий $z$ в $x(yz)-y(xz)$, является дифференцированием. Таким образом, прямую сумму алгебр $A$ и $\mathbf {der} (A)$ можно преобразовать в алгебру Ли, называемую структурной алгеброй алгебры $A$ — $\mathbf {str} (A)$.

Простым примером служат эрмитовы йордановы алгебры $H(A,\sigma )$; в этом случае любой элемент $x$ алгебры $A$ с условием $\sigma (x)=-x$ определяет дифференцирование. Во многих важных примерах структурная алгебра алгебры $H(A,\sigma )$ — это $A$.

Алгебры дифференцирования и структурные алгебры входят в конструкцию магического квадрата Фрейденталя — Титса.

Формально действительные йордановы алгебры

Алгебра (возможно, неассоциативная) над действительными числами называется формально действительной, если она удовлетворяет свойству, согласно которому сумма $n$ квадратов может обратиться в нуль только при обращении в нуль каждого из них по отдельности. В 1932 году Йордан попытался аксиоматизировать квантовую теорию, предположив, что алгебра наблюдаемых любой квантовой системы должна быть формально действительной алгеброй, которая является коммутативной и степенно-ассоциативной, и доказал, что любая такая алгебра является йордановой.

Не каждая йорданова алгебра формально вещественна, но в 1934 году Йордан совместно с фон Нейманом и Вигнером классифицировали конечномерные формально вещественные йордановы алгебры, также называемые евклидовыми йордановыми алгебрами. Любая формально вещественная йорданова алгебра может быть представлена в виде прямой суммы так называемых простых йордановых алгебр, которые сами по себе не являются прямыми суммами. В конечных размерностях простые формально вещественные йордановы алгебры делятся на следующие бесконечные семейства: йордановы алгебры самосопряжённых вещественных, комплексных и кватернионных матриц размера $n\times n$; йордановы алгебры типа Клиффорда — свободно порождённые $\mathbb {R} ^{n}$ с соотношениями $x^{2}=\langle x,x\rangle$ (скалярное произведение); йордановы алгебры самосопряженных октонионных матриц 3×3 (исключительная йорданова алгебра — алгеброй Алберта).

Разложение Пирса

Если $e$ — идемпотент в йордановой алгебре $A$ и операция $R_{e}$ — операция умножения на $e$(то есть $R_{e}a=ea$), то $R_{e}(2R_{e}-1)(R_{e}-1)=0$, поэтому собственные значения $R_{e}$ — $\{0,1/2,1\}$. Если йорданова алгебра $A$ конечномерна над полем характеристики, отличной от 2, это означает, что она является прямой суммой трёх собственных подпространств: $A=A_{0}(e)\oplus A_{1/2}(e)\oplus A_{1}(e)$. Это разложение было впервые рассмотрено Йорданом, фон Нейманом и Вигнером для вполне вещественных йордановых алгебр; позднее оно было изучено в общем случае Албертом и названо разложением Пирса для $A$ относительно идемпотента $e$.

Специальные виды и обобщения

Бесконечномерные йордановы алгебры

В 1979 году Ефим Зельманов классифицировал бесконечномерные простые (и первичные невырождённые) йордановы алгебры, выделив два подкласса — эрмитового и клиффордова типа. В частности, единственными исключительными простыми йордановыми алгебрами являются конечномерные алгебры Алберта, имеющие размерность 27.

Йордановы операторные алгебры

Запрос «Йорданова операторная алгебра» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Теория операторных алгебр была расширена и охватила йордановы операторные алгебры.

Аналогами $C^{*}$-алгебр являются $JB$-алгебры, которые в конечных размерностях называются евклидовыми йордановыми алгебрами. Норма на вещественной йордановой алгебре должна быть полной и удовлетворять аксиомам:

$\|a\circ b\|\leqslant \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leqslant \|a^{2}+b^{2}\|$.

Эти аксиомы гарантируют формальную вещественность йордановой алгебры, так что если сумма квадратов членов равна нулю, то и сами члены должны быть равны нулю. Комплексификации йордановых $C^{*}$-алгебр или $JB^{*}$-алгебр. Они широко используются в комплексной геометрии для расширения йордановой алгебраической трактовки Кёхера ограниченных симметричных областей на бесконечномерный случай. Не все йордановы алгебры могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, точно так же, как в конечных измерениях. Исключительная алгебра Алберта является общим препятствием.

Йордановым аналогом алгебр фон Неймана являются $JBW$-алгебры — $JB$-алгебры, которые, как банаховы пространства, являются дуальными пространствами банаховых пространств. Большая часть структурной теории алгебр фон Неймана может быть перенесена на $JBW$-алгебры, в частности, факторалгебры $JBW$-алгебр — те, центр которых приведён к $\mathbb {R}$ — полностью понятны^{[уточнить]} в терминах алгебр фон Неймана. За исключением исключительной алгебры Алберта, все факторалгебры $JWB$-алгебр могут быть реализованы как йордановы алгебры самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, замкнутом в слабой операторной топологии. Из них спиновые факторы могут быть очень просто построены из вещественных гильбертовых пространств. Все остальные факторы $JWB$-алгебр являются либо самосопряженной частью фактора фон Неймана, либо его подалгеброй неподвижных точек относительно периода 2*-антиавтоморфизма фактора фон Неймана.

Йордановы кольца

Запрос «Йорданово кольцо» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Йорданово кольцо — обобщение йордановых алгебр, требующее лишь, чтобы йорданово кольцо было над общим кольцом, а не над полем. В качестве альтернативы йорданово кольцо можно определить как коммутативное неассоциативное кольцо, сохраняющее тождество Йордана.

Йордановы супералгебры

Запрос «Йорданова супералгбера» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Йордановы супералгебры были введены Кацем, Кантором и Капланским как $\mathbb {Z} /2$-градуированные алгебры $J_{0}\oplus J_{1}$, где $J_{0}$ является йордановой алгеброй и $J_{1}$ имеет произведение лиева типа со значениями в $J_{0}$.

Любой $\mathbb {Z} /2$ -градуированная ассоциативная алгебра $A_{0}\oplus A_{1}$ становится йордановой супералгеброй относительно градуированной йордановой скобки:

$\{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}$.

Йордановы простые супералгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 были классифицированы Кацем в 1977 году, они включают несколько семейств и некоторые исключительные алгебры, в частности $K_{3}$ и $K_{10}$.

J-структуры

Запрос «J-структура» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Понятие $J$-структуры было введено для разработки теории йордановых алгебр с использованием линейных алгебраических групп и аксиом, где инверсия Йордана является базовой операцией, а тождество Хуа — базовым отношением. В характеристике, отличной от 2, теория $J$-структур по сути совпадает с теорией йордановых алгебр.

Квадратичные йордановы алгебры

Запрос «Квадратичная йорданова алгебра» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Квадратичные йордановы алгебры являются обобщением (линейных) йордановых алгебр, введённых Маккриммоном. Фундаментальные тождества квадратичного представления линейной йордановой алгебры используются в качестве аксиом для определения квадратичной йордановой алгебры над полем произвольной характеристики. Существует единообразное описание конечномерных простых квадратичных йордановых алгебр, не зависящее от характеристики: в характеристике, отличной от 2, теория квадратичных йордановых алгебр сводится к теории линейных йордановых алгебр.

См. также

• Алгебра Фрейденталя
• Тройная йорданова система
• Йорданова пара
• Конструкция Кантора — Кёхера — Титса
• Многообазие Скорцы

Литература

• Слинько А. М. Йорданова алгебра // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 148 800 экз.— Перевод на английский: Jordan algebra . Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
• Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. — Наука, 1978. — ISBN 0-12-779850-1.
• Albert A. A. On Jordan algebras of linear transformations (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1946. — Vol. 59, iss. 3. — P. 524–555. — ISSN 0002-9947. — doi:10.1090/S0002-9947-1946-0016759-3. — .
• Albert A. A. A structure theory for Jordan algebras (англ.) // Annals of Mathematics. — 1947. — Vol. 48, iss. 3. — P. 546–567. — ISSN 0003-486X. — doi:10.2307/1969128. — .
• Baez J. C. The Octonions, 3: Projective Octonionic Geometry (англ.) // Bulletin of the American Mathematical Society. — 2002. — Vol. 39, iss. 2. — P. 145–205. — doi:10.1090/S0273-0979-01-00934-X.
• Faraut J., Korányi Á.. Analysis on symmetric cones. — Oxford University Press, 1994. — (Oxford Mathematical Monographs). — ISBN 0198534779.
• Hanche-Olsen H., Størmer E. Jordan operator algebras. — Pitman, 1984. — Т. 21. — (Monographs and Studies in Mathematics). — ISBN 0273086197.
• Jacobson N. Structure and representations of Jordan algebras. — Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2008. — Т. 39. — ISBN 9780821831793.
• Jordan P. Über Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik (нем.) // Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I. — 1933. — Bd. 41. — S. 209–217.
• Jordan P., von Neumann J., Wigner E. On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism (англ.) // Annals of Mathematics. — 1934. — Vol. 35, iss. 1. — P. 29–64. — doi:10.2307/1968117. — .
• Kac V. G. Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras // Communications in Algebra. — 1977. — Т. 5, вып. 13. — С. 1375–1400. — ISSN 0092-7872. — doi:10.1080/00927877708822224.
• McCrimmon K.. A general theory of Jordan rings // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.. — 1966. — Т. 56, вып. 4. — С. 1072–1079. — doi:10.1073/pnas.56.4.1072. — . — Bibcode:1966PNAS...56.1072M. — PMID 16591377. — . — PMC 220000.
• McCrimmon K. A taste of Jordan algebras. — Springer-Verlag, 2004. — (Universitext). — ISBN 978-0-387-95447-9. — doi:10.1007/b97489. — .
• Satake I. Algebraic Structures of Symmetric Domains. — Princeton University Press, 1980. — ISBN 978-0-691-08271-4.
• Schafer R. D. An introduction to nonassociative algebras. — Courier Dover Publications, 1996. — ISBN 978-0-486-68813-8. — .
• Springer T. A.. Jordan algebras and algebraic groups. — Springer-Verlag, 1998. — (Classics in Mathematics). — ISBN 978-3-540-63632-8. — doi:10.1007/978-3-642-61970-0. — .
• Springer T. A., Veldkamp F. D. Octonions, Jordan algebras and exceptional groups. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000. — ISBN 978-3-540-66337-9. — doi:10.1007/978-3-662-12622-6.
• Upmeier H. Symmetric Banach manifolds and Jordan C∗-algebras. — 1985. — Т. 104. — ISBN 0444876510.
• Upmeier H. Jordan algebras in analysis, operator theory, and quantum mechanics. — American Mathematical Society, 1987. — Т. 67. — ISBN 082180717X.
• Knus M.-A., Merkurjev A., Rost M., Tingol J.-P.. The book of involutions. — American Mathematical Society, 1998. — Т. 44. — (Colloquium Publications). — ISBN 0-8218-0904-0. — .

Ссылки

• Йорданова алгебра в PlanetMath
• Алгебры Йордана — Банаха и Йордана — Ли на PlanetMath