Калибровочная симметрия (математика)

В математике любая лагранжева система допускает калибровочные симметрии, возможно, тривиальные. В теоретической физике понятие калибровочной симметрии, зависящей от параметров, являющихся функциями координат, является краеугольным камнем современной теории поля.

Калибровочная симметрия лагранжиана $L$ определяется как дифференциальный оператор на некотором векторном расслоении $E$, принимающий значения в линейном пространстве (вариационных или точных) симметрий $L$. Поэтому калибровочная симметрия лагранжиана $L$ зависит от сечений расслоения $E$ и их частных производных. Например, это случай калибровочных симметрий в классической теории поля, например, в калибровочной теории Янга — Миллса и калибровочной теории гравитации. Калибровочные симметрии обладают следующими двумя важными особенностями.

Во-первых, будучи лагранжевой симметрией, калибровочная симметрия лагранжевой системы удовлетворяет первой теореме Нётер, но соответствующий сохраняющийся ток симметрии $J^{\mu }$ принимает вид

$J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu \mu }$,

где первое слагаемое $W^{\mu }$ обращается в ноль на решениях уравнения Эйлера — Лагранжа, а второе слагаемое сводится к дивергенции, где $U^{\nu \mu }$ называется суперпотенциалом.

Во-вторых, в соответствии со второй теоремой Нётер имеет место взаимно однозначное соответствие между калибровочными симметриями лагранжиана и тождествами Нётер, которым подчиняется оператор Эйлера — Лагранжа. Таким образом, калибровочные симметрии характеризуют вырожденность лагранжевой системы.

См. также

• Лагранжева система
• Тождества Нётер
• Калибровочная инвариантность
• Теория Янга — Миллса
• Калибровочная теория гравитации

Литература

• Daniel, M., Viallet, C., The geometric setting of gauge symmetries of the Yang–Mills type, Rev. Mod. Phys. 52 (1980) 175.
• Eguchi, T., Gilkey, P., Hanson, A., Gravitation, gauge theories and differential geometry, Phys. Rep. 66 (1980) 213.
• Marathe, K., Martucci, G., The Mathematical Foundation of Gauge Theories (North Holland, 1992) ISBN 0-444-89708-9.
• Gomis, J., Paris, J., Samuel, S., Antibracket, antifields and gauge theory quantization, Phys. Rep. 295 (1995) 1; arXiv: hep-th/9412228.
• Giachetta, G. (2008), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory, J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv: 0807.3003.
• Giachetta, G. (2009), Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Advanced Classical Field Theory (World Scientific, 2009).