Каноническое преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактные преобразования) — это преобразование канонических переменных и гамильтониана не меняющие общий вид уравнений Гамильтона для любой гамильтоновой системы. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение[править | править вики-текст]

Преобразования

, где  — число степеней свободы,

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона :

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона :

Переменные и называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а и  — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции[править | править вики-текст]

Из инвариантности интеграла Пуанкаре-Картана и теореме Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

где постоянную называют валентностью канонического преобразования,  — полный дифференциал некоторой функции (предполагается, что и также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных , причём выбор независим для каждого . Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты . При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции . Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов , , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

кроме того, задано некоторое число , тогда пара задаёт каноническое преобразование по правилу

Связь с исходной производящей функцией:

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

кроме того, задано некоторое число , тогда пара задаёт каноническое преобразование по правилу

Связь с исходной производящей функцией:

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:


Производящая функция 3-го типа[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

кроме того, задано некоторое число , тогда пара задаёт каноническое преобразование по правилу

Связь с исходной производящей функцией:

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:


Производящая функция 4-го типа[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

кроме того, задано некоторое число , тогда пара задаёт каноническое преобразование по правилу

Связь с исходной производящей функцией:

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

Примеры[править | править вики-текст]

1. Тождественное преобразование

может быть получено при:

2. Если задать

то полученное преобразование будет иметь вид:

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

может быть получено при:

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

тогда

В частности, если

где  — ортогональная матрица:

то

К точечным преобразования приводит и функция:

тогда

В частности функция

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных системы с одной степенью свободы:

является унивалентным каноническим преобразованием при

производящая функция:

Такие преобразования образуют специальную линейную группу .

Действие как производящая функция[править | править вики-текст]

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа[править | править вики-текст]

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций и условия:

где под и понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

Литература[править | править вики-текст]