Канторово множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ка́нторово мно́жество (канторов дисконтинуум, канторова пыль) — один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером дисконтинуума в математическом анализе. Описано в 1883 году Кантором.

Определения[править | править вики-текст]

Классическое построение[править | править вики-текст]

Из единичного отрезка удалим среднюю треть, то есть интервал . Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств . Пересечение

называется Канторовым множеством.

Cantor set, in seven iterations

Множества

С помощью троичной записи[править | править вики-текст]

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит Канторовому множеству, если у него есть одно такое представление, например так как .

Как аттрактор[править | править вики-текст]

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек такие, что для любого ,

или .

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

Как счётная степень простого двоеточия[править | править вики-текст]

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — [1]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)[2][3].

Свойства[править | править вики-текст]

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Канторов куб (обобщённый канторов дисконтинуум) веса  — это -я степень двухточечного дискретного пространства .
    • Канторов куб универсален для всех нульмерных пространств веса не больше .
    • Каждый хаусдорфов компакт веса не больше есть непрерывный образ подпространства канторова куба .
  • Диадический компактruen — это компакт, представимый как непрерывный образ канторова куба.
  • Диадическое пространствоruen[4] — топологическое пространство, для которого существует компактификация, являющаяся диадическим компактом.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.