Касательное пространство Зарисского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Касательное пространство Зарисского — конструкция в алгебраической геометрии, позволяющая построить касательное пространство в точке алгебраического многообразия. Эта конструкция использует не методы дифференциальной геометрии, а только методы общей, и, в более конкретных ситуациях, линейной алгебры.

Мотивировка[править | править вики-текст]

Рассмотрим плоскую алгебраическую кривую, заданную полиномиальным уравнением

Опишем касательное пространство к этой кривой в начале координат. Выбросим из уравнения все члены порядка больше первого, останется уравнение

Возможны два случая: либо , в этом случае касательное пространство определяется как вся аффинная плоскость (все её точки удовлетворяют уравнению выше), в этом случае начало координат является особой точкой кривой. В противном случае, касательное пространство — это прямая, рассматриваемая как одномерное аффинное пространство. (Более точно, в исходной аффинной плоскости нет никакого начала координат. Однако при определении касательного пространства в точке p естественно выбрать начало координат в этой точке.)

Определение[править | править вики-текст]

Кокасательное пространство локального кольца с максимальным идеалом m определяется как

где m2 — произведение идеалов. Кокасательное пространство является векторным пространством над полем вычетов . Векторное пространство, двойственное к нему, называется касательным пространством R.[1]

Это определение обобщает данный выше пример на более высокие размерности. Грубо говоря,  — это кольцо ростков функций в точке p. Это кольцо локально, его максимальный идеал — ростки функций, равных нулю в p (максимальный идеал локального кольца состоит в точности из необратимых элементов). Так как точка p принадлежит многообразию, нас интересуют только элементы m, факторизация по m2 соответствует выбрасыванию членов больших степеней. Поскольку мы начинали с кольца функций, соответствует «линейным функционалам» на касательном пространстве, то есть пространству, двойственному к касательному.

Касательное пространство и кокасательное пространство к схеме X в точке P — это (ко)касательное пространство локального кольца . Благодаря функториальности Spec, естественное отображение факторизации индуцирует гомоморфизм , где X=Spec(R), P — точка Y=Spec(R/I). Этот гомоморфизм часто используют для вложения в [2] (например, касательное пространство многообразия, вложенного в аффинное пространство, естественным образом вложено в касательное пространство аффинного пространства). Так как морфизмы полей инъективны, сюръекция полей вычетов, индуцированная g, является изоморфизмом. Таким образом, g индуцирует морфизм k касательных пространств, поскольку

Так как k сюръективен (является гомоморфизмом факторизации), то двойственное линейное отображение инъективно (является вложением).

Аналитический случай[править | править вики-текст]

Если V — подмногообразие n-мерного векторного пространства, определённое идеалом I (идеалом функций, равных нулю на этом многообразии), кольцу R соответствует кольцо Fn/I, где Fn — кольцо ростков гладких/аналитических/голоморфных функций на векторном пространстве, I — ростки функций из идеала. Тогда касательное пространство Зарисского в точке x — это

где  — идеал функций соответствующего типа, равных нулю в точке x.

В примере с алгебраической кривой, , а

Свойства[править | править вики-текст]

Если R — нётерово локальное кольцо, размерность касательного пространства не меньше размерности R:

R называется регулярным кольцом, если выполняется равенство. Если локальное кольцо многообразия V в точке x регулярно, говорят, что x — регулярная точка многообразия. В противном случае x называется особой точкой.

Существует интерпретация касательного пространства при помощи гомоморфизмов в кольцо дуальных чисел На языке схем, морфизмы из Spec k[t]/t2 в схему X над k соответствует выбору рациональной точки x ∈ X(k) (точки с координатами из поля k) и элемента касательного пространства в точке x.[3] Таким образом, эти морфизмы имеет смысл называть касательными векторами.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Eisenbud 1998, I.2.2, pg. 26
  2. Smoothness and the Zariski Tangent Space, James McKernan, 18.726 Spring 2011 Lecture 5
  3. Hartshorne 1977, Exercise II 2.8

Литература[править | править вики-текст]

  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
  • David Eisenbud; Joe Harris (1998). The Geometry of Schemes. Springer-Verlag. — ISBN 0-387-98637-5.

Ссылки[править | править вики-текст]