Каустика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Каустика отражения солнечных лучей от цилиндрического зеркала
Light through glass05.jpg
Каустика отраженных от окружности параллельных лучей

В дифференциальной геометрии и в геометрической оптике каустика — это огибающая лучей, отраженных или преломленных многообразием (a manifold). Это связано с понятием каустики в оптике. Источником лучей может быть точка (так называемый источник света) или параллельные лучи из точки на бесконечности, в этом случае вектор направления лучей должен быть указан[1].

Ка́устика[2] (от греч. καύστικος, жгучий) — огибающая семейства лучей, не сходящихся в одной точке. Каустики в оптике — это особые линии (в двухмерном случае) и особые поверхности, вблизи которых резко возрастает интенсивность светового поля.

Яркие световые кривые причудливой формы возникают на освещённом столе, на который поставлен бокал с водой. Движущиеся каустики можно увидеть на дне неглубокого водоёма, водная поверхность которого находится в волнении. Радуга — разноцветная каустика, возникающая при преломлении солнечных лучей на дождевых каплях. Каустики возникают не только при распространении света, но и в ряде других волновых явлений. Корабельные волны можно считать каустикой гравитационных волн на воде. В работах Я. Б. Зельдовича показано, что за счёт гравитационной неустойчивости первоначально почти однородное распределение массы во Вселенной концентрируется на каустиках и приводит к образованию нитевидной крупномасштабной структуры вселенной. В астрономии оптические каустики можно использовать для определения геометрии компактного тёмного объекта — гравитационной линзы.

В рамках геометрической оптики каустики представляют собой линии и поверхности бесконечно малой толщины. В геометрическом плане каустика представляет собой эволюту волнового фронта; волновой фронт — эвольвенту каустики. С учётом волновых свойств света, каустики обязаны иметь некоторую толщину, заведомо не меньшую, чем длина волны света. Вблизи монохроматических каустик наблюдаются характерные интерференционные полосы, интенсивность которых описывается функцией Эйри. Теория каустик напрямую связана с одним из разделов современной математики — теорией катастроф. В дифференциальных уравнениях каустики соответствуют опрокидыванию решений.

Кривые и их каустики[править | править код]

Кривая Источник света Каустика
Окружность На плоскости Кардиоида
Окружность Не на плоскости Улитка Паскаля
Окружность Бесконечность Нефроида
Парабола Лучи, параллельные директрисе Кривая третьего порядка Чирнгаузена
Кривая Чирнгаузена Фокус Полукубическая парабола
Циссоида Диоклеса Фокус Кардиоида
Кардиоида Касп Нефроида
Четырёхлистник Центр Астроида
Дельтоид Бесконечность Астроида
Логарифмическая спираль Центр Логарифмическая спираль
Циклоида в пределах одной ее арки Лучи, параллельные перпендикуляру к ее оси 2 арки (дуги) циклоиды
Циклоида Лучи, перпендикулярные линии через каспы Половина циклоиды
Эллипс Любая его точка Кривая без названия
Логарифмика Лучи, перпендикулярные асимптоте Цепная линия

Замечание[править | править код]

В англоязычной литературе каустику (Caustic) в математике иногда называют катакаустикой (Catacaustic) [3]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Ка́устика (англ. яз.). Caustic (mathematics) https://en.wikipedia.org/wiki/Caustic_(mathematics)
  2. Зарва М. В. Каустика // Русское словесное ударение. Словарь. — М. : НЦ ЭНАС, 2001. — 600 с. — 6000 экз. — ISBN 5-93196-084-8.
  3. Катакустика (англ.яз.). Catacaustic http://mathworld.wolfram.com/Catacaustic.html

Литература[править | править код]

  • Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.
  • Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов. М.: Фазис, 1996.
  • Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. Изд-во "Мир". М., 1980. 607 с.
  • Nye J. F. Natural focusing and fine structure of light: caustics and wave dislocations. Institute of Physics Pub., 1999.

Ссылки[править | править код]