Квадратичный закон взаимности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Квадратичный закон взаимности — ряд утверждений, касающихся разрешимости квадратичного сравнения по модулю. Согласно этому закону, если — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид то два сравнения:

либо оба имеют решения для либо оба не имеют. Поэтому в названии закона используется слово «взаимность». Если же оба имеют вид то решение имеет одно и только одно из указанных сравнений[1].

Связанные определения[править | править вики-текст]

Если для заданных целых чисел сравнение имеет решения, то называется квадратичным вычетом[2] по модулю , а если решений нет, то — квадратичным невычетом по модулю . С использованием этой терминологии можно квадратичный закон взаимности сформулировать следующим образом:

Если — нечётные простые числа и хотя бы одно из них имеет вид то либо оба являются квадратичными вычетами по модулю друг друга, либо оба — невычеты. Если же оба имеют вид то квадратичным вычетом является одно и только одно из этих чисел — либо по модулю либо по модулю

Пусть — целое число, — нечётное простое число. Символ Лежандра определяется следующим образом.

  • , если делится нацело на .
  • , если является квадратичным вычетом по модулю .
  • , если является квадратичным невычетом по модулю .

Примеры взаимности для простых чисел от 3 до 97[править | править вики-текст]

Приведенная ниже таблица (матрица) наглядно показывает, какие нечётные простые числа, не превышающие 100, являются вычетами, а какие — невычетами. Например, первая строка относится к модулю 3 и означает, что число 5 является квадратичным невычетом (Н), 7 является вычетом (В), 11 — невычетом и т. д. По таблице ясно видно, что для чисел вида (зелёные и синие клетки) все коды, симметричные им относительно главной диагонали матрицы, в точности такие же, что и означает «взаимность». Например, в клетке (5, 7) тот же код, что и в клетке (7, 5). А если клетки соответствуют двум числам вида (жёлтые и красные клетки) то коды противоположны — например, для (11, 19).

Пояснения:
В q является вычетом по модулю p    q ≡ 1 (mod 4) или p ≡ 1 (mod 4) (или оба)  
Н q является невычетом по модулю p  
В q является вычетом по модулю p оба q ≡ 3 (mod 4) и p ≡ 3 (mod 4)
Н q является невычетом по модулю p  
q
3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
p 3   Н В Н В Н В Н Н В В Н В Н Н Н В В Н В В Н Н В
5 Н   Н В Н Н В Н В В Н В Н Н Н В В Н В Н В Н В Н
7 Н Н   В Н Н Н В В Н В Н В Н В Н Н В В Н В Н Н Н
11 В В Н   Н Н Н В Н В В Н Н В В В Н В В Н Н Н В В
13 В Н Н Н   В Н В В Н Н Н В Н В Н В Н Н Н В Н Н Н
17 Н Н Н Н В   В Н Н Н Н Н В В В В Н В Н Н Н В В Н
19 Н В В В Н В   В Н Н Н Н В В Н Н В Н Н В Н В Н Н
23 В Н Н Н В Н Н   В В Н В Н В Н В Н Н В В Н Н Н Н
29 Н В В Н В Н Н В   Н Н Н Н Н В В Н В В Н Н В Н Н
31 Н В В Н Н Н В Н Н   Н В Н В Н В Н В В Н Н Н Н В
37 В Н В В Н Н Н Н Н Н   В Н В В Н Н В В В Н В Н Н
41 Н В Н Н Н Н Н В Н В В   В Н Н В В Н Н В Н В Н Н
43 Н Н Н В В В Н В Н В Н В   В В В Н В Н Н В В Н В
47 В Н В Н Н В Н Н Н Н В Н Н   В В В Н В Н В В В В
53 Н Н В В В В Н Н В Н В Н В В   В Н Н Н Н Н Н В В
59 В В В Н Н В В Н В Н Н В Н Н В   Н Н В Н В Н Н Н
61 В В Н Н В Н В Н Н Н Н В Н В Н Н   Н Н В Н В Н В
67 Н Н Н Н Н В В В В Н В Н Н В Н В Н   В В Н В В Н
71 В В Н Н Н Н В Н В Н В Н В Н Н Н Н Н   В В В В Н
73 В Н Н Н Н Н В В Н Н В В Н Н Н Н В В В   В Н В В
79 Н В Н В В Н В В Н В Н Н Н Н Н Н Н В Н В   В В В
83 В Н В В Н В Н В В В В В Н Н Н В В Н Н Н Н   Н Н
89 Н В Н В Н В Н Н Н Н Н Н Н В В Н Н В В В В Н   В
97 В Н Н В Н Н Н Н Н В Н Н В В В Н В Н Н В В Н В  

Формулировка с помощью символов Лежандра[править | править вики-текст]

Квадратичный закон взаимности Гаусса для символов Лежандра утверждает, что

где р и q — различные нечётные простые числа.

Также справедливы следующие дополнения:

и

Следствия[править | править вики-текст]

  • Следующий факт, известный ещё Ферма: простыми делителями чисел могут быть лишь число 2 и простые числа, принадлежащие арифметической прогрессии
    .
Другими словами, сравнение
по простому модулю разрешимо в том и только в том случае, когда С помощью символа Лежандра, последнее утверждение может быть выражено следующим образом:
  • Вопрос о разрешимости сравнения
решается алгоритмом с использованием мультипликативности символа Лежандра и квадратичного закона взаимности.

Примеры использования[править | править вики-текст]

  • Квадратичный закон позволяет быстро вычислять символы Лежандра. Например
Следовательно, сравнение
имеет решение.
  • Если использовать аналог закона взаимности для символа Якоби, то вычисление проходит ещё проще, поскольку более нет необходимости раскладывать числитель символа на простые множители.

История[править | править вики-текст]

Формулировка квадратичного закона взаимности была известна ещё Эйлеру в 1783 году[3] Лежандр сформулировал закон независимо от Эйлера и доказал его в некоторых частных случаях в 1785 году. Полное доказательство было опубликовано Гауссом в «Арифметических исследованиях» (1801 год); впоследствии Гаусс дал ещё несколько его доказательств, основанных на совершенно различных идеях.

Одно из самых простых доказательств было предложено Золотарёвым в 1872 году.[4][5][6]

В дальнейшем были получены различные обобщения квадратичного закона взаимности[7].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Квадратичный закон взаимности естественно обобщается на символы Якоби, это позволяет ускорить нахождение символа Лежандра, поскольку более не требует проверки на простоту.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Карл Фридрих Гаусс. Труды по теории чисел / Общая редакция академика И. М. Виноградова, комментарии члена-корр. АН СССР Б. Н. Делоне. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 126. — 297 с. — (Классики науки).
  2. Квадратичный вычет // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1979. — Т. 2. — С. 785—786.
  3. Euler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783.
  4. Zolotareff G. (1872). «Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre». Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e série 11: 354—362.
  5. Прасолов В. В. Доказательство квадратичного закона взаимности по Золотареву // Математическое просвещение. — 2000. — Т. 4. — С. 140—144.
  6. Горин Е. А. Перестановки и квадратичный закон взаимности по Золотареву-Фробениусу-Руссо // Чебышевский сборник. — 2013. — Т. 14, вып. 4. — С. 80-94.
  7. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]