Квадратное треугольное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных чисел.

Квадратные треугольные числа образуют последовательность:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, … (последовательность A001110 в OEIS).

Формулы[править | править код]

Будем записывать Nk для k-го квадратного треугольного числа, sk и tk для сторон квадрата и треугольника соответственно, тогда

Последовательности Nk, sk и tk присутствуют в OEIS (A001110, A001109 и A001108 соответственно).

В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулу[1][2]:12—13

Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этой формулы:

Соответствующие явные формулы для sk и tk[2]:13:

и

Уравнение Пелля[править | править код]

Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получить следующим образом[3]:

любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так что нужно найти t и s такие, что

Умножая левую и правую часть на 8 и выделяя полный квадрат получим

подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мы получим диофантово уравнение

,

которое является уравнением Пелля. Решениями этого уравнения служат числа Пелля Pk[4]

и потому все решения задаются формулами

Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённые формулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.

Рекуррентные отношения[править | править код]

Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как и для сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеем[5]:(12)

А также[1][2]:13

Другие свойства[править | править код]

Все квадратные треугольные числа имеют вид b2c2, где b / c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратного корня из 2[6].

А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательство бесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно[7]:

Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, то существует большее треугольное число:

И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трех квадратов: 2^2 (очевидно), (n(n+1))/2 (n-ое треугольное число – по предположению является квадратом) и (2n+1)^2 (очевидно).

Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет[8]:

Численные значения[править | править код]

С увеличением k, отношение tk / sk стремится к , а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к .

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Dickson, Leonard Eugene. History of the Theory of Numbers. — Providence : American Mathematical Society, 1999. — Vol. 2. — P. 16. — ISBN 978-0-8218-1935-7.
  2. 1 2 3 Euler, Leonhard (1813). «Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)» (Latin). Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg 4: 3—17. Проверено 2009-05-11. “According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.”
  3. Barbeau, Edward. Pell's Equation. — New York : Springer, 2003. — P. 16—17. — ISBN 978-0-387-95529-2.
  4. Hardy, G. H. An Introduction to the Theory of Numbers / G. H. Hardy, Wright. — 5th. — Oxford University Press, 1979. — P. 210. — «Theorem 244». — ISBN 0-19-853171-0.
  5. Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Ball, W. W. Rouse. Mathematical Recreations and Essays / W. W. Rouse Ball, Coxeter. — New York : Dover Publications, 1987. — P. 59. — ISBN 978-0-486-25357-2.
  7. Pietenpol, J. L.; A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M Warten (February 1962). «Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers». American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 69 (2): 168—169.
  8. Plouffe, Simon 1031 Generating Functions (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique (August 1992). Проверено 11 мая 2009. Архивировано 6 февраля 2013 года.

Внешние ссылки[править | править код]