Квазивыпуклая функция

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Квазивыпуклая функция, не являющаяся выпуклой
Функция, не являющаяся квазивыпуклой: множество точек, значение функции в которых не превышает красной пунктирной линии не является выпуклой.

Квазивыпуклая функция — обобщение понятия выпуклой функции, нашедшее широкое применение в нелинейной оптимизации, в частности, при применении оптимизации к вопросам экономики.


Определение[править | править вики-текст]

Пусть X — выпуклое подмножество . Функция называется квазивыпуклой или унимодальной, если для произвольных элементов и выполняется неравенство:

Если также:

для и то функция называется строго квазивыпуклой.

Функция называется квазивогнутой (строго квазивогнутой), если является квазивыпуклой (строго квазивыпуклой).

Аналогично, функция является квазивогнутой, если

и строго квазивогнутой если

Функция, которая одновременно является квазивыпуклой и квазивогнутой называется квазилинейной.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Произвольная выпуклая функция является квазивыпуклой, произвольная вогнутая функция является квазивогнутой.
  • Функция является квазилинейной на множестве положительных действительных чисел.
  • Функция является квазивогнутой на множестве (множество пар неотрицательных чисел) но не является ни выпуклой, ни вогнутой.
  • Функция является квазивыпуклой и не является ни выпуклой, ни непрерывной.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Функция , где  — выпуклое множество, квазивыпуклая тогда и только тогда, когда для всех множество

выпукло

Доказательство. Пусть множество выпуклое для любого β. Зафиксируем две произвольные точки и рассмотрим точку Точки при . Поскольку множество выпуклое, то, а, значит, то есть выполняется неравенство, приведённое в определении, и функция является квазивыпуклой.
Пусть функция f квазивыпуклая. Для некоторого зафиксируем произвольные точки Тогда . Поскольку X — выпуклое множество, то для любого точка . Из определения квазивыпуклости следует, что , то есть . Отже,  — выпуклое множество.
  • Непрерывная функция , где X — выпуклое множество в , квазивыпуклая тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:
  1. f — неубывающая;
  2. f — невозрастающая;
  3. существует такая точка , что для всех функция f невозрастающая, и для всех функция f неубывающая.

Дифференцируемые квазивыпуклые функции[править | править вики-текст]

  • Пусть  — дифференцируемая функция на X, где  — открытое выпуклое множество. Тогда f квазивыпукла на X тогда и только тогда, когда выполняется соотношение:
для всех .
  • Пусть f — дважды дифференцируемая функция. Если f квазивыпуклая на X, то выполняется условие:
для всех .
  • Необходимые и достаточные условия квазивыпуклости и квазивогнутости можно также дать через так называемую окаймлённую матрицу Гессе. Для функции определим для определители:

Тогда справедливы утверждения:

  • Если функция f квазивыпукла на множестве X, тогда Dn(x) ≤ 0 для всех n и всех x из X.
  • Если функция f квазивогнута на множестве X, тогда D1(x) ≤ 0, D2(x) ≥ 0, …, (-1)mDm(x) ≤ 0 для всех x с X.
  • Если Dn(x) ≤ 0 для всех n и всех x с X, то функция f квазивыпуклая на множестве X.
  • Если D1(x) ≤ 0, D2(x) ≥ 0, …, (-1)mDm(x) ≤ 0 для всех x с X, функция f квазивогнута на множестве X.

Операции, сохраняющие квазивыпуклость[править | править вики-текст]

  • Максимум взвешенных квазивыпуклых функций с неотрицательными весами, то есть
где
  • композиция с неубывающей функцией (если  — квазивыпуклая,  — неубывающая, тогда является квазивыпуклой).
  • минимизация (если f(x, y) является квазивыпуклой, C — выпуклое множество, тогда является квазивыпуклой).

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Alpha C Chiang, «Fundamental Methods of Mathematical Economics, Third Edition», McGraw Hill Book Company, 1984.