Квазимногообразие

Квазимногообра́зие (от лат. quas(i) «наподобие», «нечто вроде») в универсальной алгебре — класс алгебраических систем фиксированной сигнатуры, аксиоматизируемый набором квазитождеств (хорновскими дизъюнктами).

В отличие от многообразий — классов алгебраических систем, аксиоматизируемых тождествами — особую роль в теории квазимногообразий играют теоретико-модельные методы, тогда как многообразия в основном рассматриваются для алгебр (алгебраических систем без отношений в сигнатуре) и изучаются общеалгебраическими методами.

Определения

Для алгебраической системы ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ с набором операций $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\to A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\to A,\dots \rangle$ и отношений $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$ квазиатомарными считаются формулы вида:

1. $r_{i}(f_{j1}(x_{1},\dots ,x_{n_{j}}),\dots ,f_{km_{i}}(x_{k1},\dots ,x_{n_{k}}))$ (или в нотации отношений: $(f_{j1}(x_{1},\dots x_{n_{j}}),\dots ,f_{km_{i}}(x_{k1},\dots ,x_{n_{k}}))\in r_{i}$),
2. $f_{j}(x_{1},\dots ,x_{n_{j}})=f_{k}(x_{1},\dots ,x_{n_{k}})$,

где $r_{i}\in R$, $f_{i}\in F$, а $x_{i}$ — символы переменных. (Иногда равенство включают в сигнатуру алгебраической системы как отношение и в этом случае достаточно формул первого вида.)

Квазитождества — формулы вида:

$\forall x_{1},\dots ,x_{k}\,{\big (}{\mathcal {F}}_{1}\land \dots \land {\mathcal {F}}_{m}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{m+1}{\big )}$

где ${\mathcal {F}}_{i}$ — квазиатомарные формулы с переменными $x_{1},\dots x_{k}$. Квазимногообразие — класс алгебраических систем, задаваемый набором квазитождеств.

Характеристические свойства

Всякое многообразие алгебраических систем является квазимногообразием вследствие того, что всякое тождество (из квазиатомарной формулы) $\forall x_{1},\dots ,x_{n}\,{\mathcal {F}}(x_{1},\dots x_{n})$ можно заменить, например, равносильным ему квазитождеством $\forall x_{1},\dots ,x_{n}\,{\big (}x_{1}=x_{1}\Rightarrow {\mathcal {F}}(x_{1},\dots ,x_{n}){\big )}$.

Если квазимногообразие конечно аксиоматизируемо, то оно конечно определимо.

Единичная алгебраическая система для заданной сигнатуры $\langle F,R\rangle$, то есть система с носителем из одного элемента $e$, при которой $\forall (f\in F)f(e,\dots e_{i},\dots )=e$ и $\forall (r\in R)(e,\dots e_{i},\dots )\in r$, является квазимногообразием (и, более того, многообразием). Наименьшее квазимногообразие заданной сигнатуры является многообразием, задаётся тождествами $\forall (x,y\in A)(x=y)$ и $\forall (x_{1},\dots x_{k}\in A)(x_{1},\dots x_{k})\in r$ и состоит из единственной единичной системы. Наибольшее квазимногообразие заднной сигнатуры также является многообразием — классом всех систем заданной сигнатуры, задаваемым тождеством $\forall (x)(x=x)$.

Всякое квазимногообразие включает произвольное фильтрованное произведение входящих в него систем.

Чтобы класс систем являлся квазимногообразием необходимо и достаточно, чтобы он был одновременно локально замкнут, мультипликативно замкнут (содержал любое декартово произведение своих систем) и содержал единичную систему. Локальная и мультипликативная замкнутость для этого признака могут быть эквивалентно заменены на замкнутость относительно фильтрованных произведений и наследственность^{[уточнить]}.

История

Первым результатом применения квазитождеств в общей алгебре считается результат Анатолия Мальцева 1939 года, в котором построена бесконечная серия квазитождеств, характеризующая класс вложимых в группы полугрупп. В работе 1943 года Чена Маккинси связал с квазитождествами некоторые алгоритмические проблемы алгебры, а одним из результатов решения Робертом Дилуорсом в 1945 году задачи о существовании недистрибутивных решёток с единственным дополнением, стало доказательство факта, что квазимногообразия имеют свободные системы.

Теорема Новикова (1955) о неразрешимости проблемы равенства слов в группах фактически означает неразрешимость хорновой теории групп, то есть также может быть отнесена к результатам, относящимся к квазимногообразниям.

Становление теории квазимногообразий как самостоятельной ветви универсальной алгебры относится к работам Мальцева, Табаты и Фудзивары конца 1950-х — начала 1960-х годов. Доклад Мальцева на Международном конгрессе математиков 1966 года в Москве, в котором были сформулированы некоторые важные проблемы, относящиеся к квазимногообразиям, способствовал росту интереса математиков к этой ветви.

Особый всплеск интереса к теории квазимногообразий проявился в 1970-е годы, когда началось широкое применение хорновой логики в логическом программировании (прежде всего, в работах, связанных с языком программирования Пролог) и в теории баз данных.

Литература

• Горбунов В. А. Алгебраическая теория квазимногообразий. — Новосибирск: Научная книга, 1999. — 368 с. — (Сибирская школа алгебры и логики). — ISBN 5-88119-015-7.
• Аратмонов В. А.; Салий В. Н.; Скорняков Л. А.; Шеврин Л. Н.; Шульгейфер Е. Г. Универсальные алгебры // Общая алгебра / под общей редакцией Скорнякова Л. А.. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 500 экз. — ISBN 5-02-014427-4.
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с. — 17 500 экз.