Квантиль

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим вероятностное пространство и  — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины . Пусть фиксировано . Тогда -квантилью (или квантилью уровня ) распределения называется число , такое что

,

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) -ой -квантилью называется квантиль уровня , то есть -квантиль в предыдущих обозначениях.

Замечания[править | править вики-текст]

где  — функция распределения .

  • Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:
  1. составляем вариационный ряд значений (выборка имеет объём ), а также считаем, что (это необходимо при вычислении 100% квантили по приводимым ниже формулам);
  2. находим величину ;
  3. сравниваем и :
a) если , то полагаем ;
б) если , то полагаем ;
в) если , то полагаем .

Заданная таким образом -квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства можно использовать приближённое сравнение (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Медиана и квартили[править | править вики-текст]

Квантили нормального распределения
  • 0,25-квантиль называется первым (или нижним) квартилем (от лат. quarta — четверть);
  • 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым квартилем;
  • 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) квартилем.

Интерквартильным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть . Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Дециль[править | править вики-текст]

Дециль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение[1].

Перцентиль[править | править вики-текст]

-ой перценти́лью называют квантиль уровня . При этом обычно рассматривают перцентили для целых , хотя данное требование не обязательно[источник не указан 717 дней]. Соответственно, медиана является 50-й перцентилью, а первый и третий квартиль — 25-й и 75-й перцентилями.

В целом, понятия квантиль и перцентиль взаимозаменяемы[источник не указан 717 дней], так же как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Перцентили также называются процентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределения[править | править вики-текст]

Вероятность (уровень квантили), % 99,99 99,90 99,00 97,72 97,50 95,00 90,00 84,13 50,00
Квантиль 3,715 3,090 2,326 2,000 1,960 1,645 1,282 1,000 0,000

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Шмойлова Р. А., Минашкин В. Г., Садовникова Н. А. Практикум по теории статистики. — 3-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2011. — С. 130—131. — 416 с. — ISBN 9785279032969..