Квантили распределения хи-квадрат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Квантиль распределения хи-квадрат»)
Перейти к: навигация, поиск

Кванти́ли распределе́ния хи-квадра́т — числовые характеристики, широко используемые в задачах математической статистики таких как построение доверительных интервалов, проверка статистических гипотез и непараметрическое оценивание.

Квантиль хи-квадрат — это число (величина хи-квадрат), при котором функция распределения хи-квадрат равна заданной (затребованной) вероятности а.

Равенство функции распределения хи-квадрат вероятности а означает, что с вероятностью а будут наблюдаться значения хи-квадрат, не большие, чем найденный (определенный согласно функции распределения) квантиль хи-квадрат. Таким образом, найти квантиль означает разграничить распределения хи-квадрат согласно заданной вероятности а.

Определение[править | править код]

Пусть  — функция распределения хи-квадрат с степенями свободы, и . Тогда -квантилем этого распределения называется число такое, что

.

Замечания[править | править код]

  • Прямо из определения следует, что случайная величина, имеющая распределение хи-квадрат с степенями свободы, не превышает значение с вероятностью и превышает его с вероятностью .
  • Функция строго возрастает для любого . Следовательно, определена её обратная функция , и
.
  • Функция не имеет простого представления. Однако, возможно вычислить её значения численно.

Аппроксимация квантилей[править | править код]

Для получения приближенных значений квантилей распределения хи-квадрат существуют аппроксимации.

  • Аппроксимация Корниша-Фишера[1]

,

где:

,

при

при

  • Аппроксимация Голдштейна[2]

,

где d определяется аналогично, а коэффициенты a, b,c приведены в таблице

a b c
1.0000886 -0.2237368 -0.01513904
0.4713941 0.02607083 -0.008986007
0.0001348028 0.01128186 0.02277679
-0.008553069 -0.01153761 -0.01323293
0.00312558 0.005169654 -0.006950356
-0.0008426812 0.00253001 0.001060438
0.00009780499 -0.001450117 0.001565326

Таблица квантилей[править | править код]

Нижеприведённая таблица получена с помощью функции chi2inv пакета MATLAB.

Также квантили можно получить с помощью других программных средств:

Чтобы получить значение , необходимо найти строку, соответствующую нужному , и колонку, соответствующую нужному . Искомое число находится в таблице на их пересечении.
Например:

;
.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Goldberg H., Levine H. Approximate formulas for the percentage points and normalization of t and // AMS. 1945. V.17. P. 216—225.
  2. Goldstein R.B. Chi-square quantiles, Algorithm 451 // Commun. Assoc. Comp. 1973. V. 16. P. 483—485.