Кватернион

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кватернио́ны (от лат. quaterni, по четыре) — система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Обычно обозначаются символом . Предложены Уильямом Гамильтоном в 1843 году.

Кватернионы удобны для описания изометрий трёх- и четырёхмерного евклидовых пространств, и поэтому получили широкое распространение в механике. Также их используют в вычислительной математике, например, при создании трёхмерной графики.[1]

Анри Пуанкаре писал о кватернионах: «Их появление дало мощный толчок развитию алгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа, придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающим современную математику. Это была революция в арифметике, подобная той, которую сделал Лобачевский в геометрии»[2].

Определения[править | править вики-текст]

Стандартное[править | править вики-текст]

Кватернионы можно определить как формальную сумму где  — вещественные числа, а  — мнимые единицы со следующим свойством: . Таким образом, таблица умножения базисных кватернионов —  — выглядит так:

Например, , a .

Как вектор и скаляр[править | править вики-текст]

Кватернион представляет собой пару где  — вектор трёхмерного пространства, а  — скаляр, то есть вещественное число.

Операции сложения определены следующим образом:

Произведение определяется следующим образом:

где обозначает скалярное произведение, а  — векторное произведение.

В частности,

Заметим, что:

Через комплексные числа[править | править вики-текст]

Произвольный кватернион можно представить как пару комплексных чисел в виде

или эквивалентно

где  — комплексные числа, поскольку выполняется как для комплексных чисел, так и для кватернионов, а .

Через матричные представления[править | править вики-текст]

Вещественными матрицами[править | править вики-текст]

Кватернионы также можно определить как вещественные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

При такой записи:

  • сопряжённому кватерниону соответствует транспонированная матрица:
    ;
  • четвёртая степень модуля кватерниона равна определителю соответствующей матрицы:
    .

Комплексными матрицами[править | править вики-текст]

Альтернативно, кватернионы можно определить как комплексные матрицы следующего вида с обычными матричными произведением и суммой:

здесь и обозначают комплексно-сопряжённые числа к и .

Такое представление имеет несколько замечательных свойств:

  • комплексному числу соответствует диагональная матрица;
  • сопряжённому кватерниону соответствует сопряжённая транспонированная матрица:
    ;
  • квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы:
    .

Связанные объекты и операции[править | править вики-текст]

Для кватерниона

кватернион называется скалярной частью а кватернион  — векторной частью. Если то кватернион называется чисто скалярным, а при  — чисто векторным.

Сопряжение[править | править вики-текст]

Для кватерниона сопряжённым называется:

Сопряжённое произведение есть произведение сопряжённых в обратном порядке:

Для кватернионов справедливо равенство

Модуль[править | править вики-текст]

Так же, как и для комплексных чисел,

называется модулем . Если то называется единичным кватернионом.

В качестве нормы кватерниона обычно рассматривают его модуль: .

Таким образом, на множестве кватернионов можно ввести метрику. Кватернионы образуют метрическое пространство, изоморфное с евклидовой метрикой.

Кватернионы с модулем в качестве нормы образуют банахову алгебру.

Из тождества четырёх квадратов вытекает, что иными словами, кватернионы обладают мультипликативной нормой и образуют ассоциативную алгебру с делением.

Обращение умножения (деление)[править | править вики-текст]

Кватернион, обратный по умножению к , вычисляется так: .

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

Четыре базисных кватерниона и четыре противоположных им по знаку образуют по умножению группу кватернионов (порядка 8). Обозначается:

.

Множество кватернионов является примером кольца с делением.

Множество кватернионов образует четырёхмерную ассоциативную алгебру с делением над полем вещественных (но не комплексных) чисел. Вообще , , являются единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем вещественных чисел[3].

Некоммутативность умножения кватернионов приводит к неожиданным последствиям. Например, количество различных корней полиномиального уравнения над множеством кватернионов может быть больше, чем степень уравнения. В частности, уравнение имеет бесконечно много решений — это все единичные чисто векторные кватернионы.

Кватернионы и повороты пространства[править | править вики-текст]

Организация трёх степеней свободы, но окончательная свобода меньших колец зависит от положения больших колец

Кватернионы, рассматриваемые как алгебра над , образуют четырёхмерное вещественное векторное пространство. Любой поворот этого пространства относительно может быть записан в виде , где и  — пара единичных кватернионов, при этом пара определяется с точностью до знака, то есть один поворот определяют в точности две пары — и . Из этого следует, что группа Ли поворотов есть факторгруппа , где обозначает мультипликативную группу единичных кватернионов.

Чисто векторные кватернионы образуют трёхмерное вещественно векторное пространство. Любой поворот пространства чисто векторных кватернионов относительно может быть записан в виде , где  — некоторый единичный кватернион. Соответственно, , в частности, диффеоморфно .

«Целые» кватернионы[править | править вики-текст]

В качестве нормы кватерниона выберем квадрат его модуля: .

Целыми по Гурвицу принято называть кватернионы такие, что все  — целые и одинаковой чётности.

Целый кватернион называется

  • чётным
  • нечётным
  • простым

если таким же свойством обладает его норма.

Целый кватернион называется примитивным, если он не делится ни на какое натуральное число, кроме , нацело (иными словами, ).

Целые единичные кватернионы[править | править вики-текст]

Существует 24 целых единичных кватерниона:

; ; ; ; .

Они образуют группу по умножению, лежат в вершинах правильного 4х-мерного многогранника — 3-кубооктаэдра (не путать с 3х-мерным многогранником-кубооктаэдром).

Разложение на простые сомножители[править | править вики-текст]

Для примитивных кватернионов верен аналог основной теоремы арифметики.

Теорема.[4] Для любого фиксированного порядка множителей в разложении нормы кватерниона в произведение простых целых положительных чисел существует разложение кватерниона в произведение простых кватернионов такое, что . Причём данное разложение единственно по модулю домножения на единицы — это значит, что любое другое разложение будет иметь вид

,

где , , , …  — целые единичные кватернионы.

Например, примитивный кватернион имеет норму 60, значит, по модулю домножения на единицы он имеет ровно 12 разложений в произведение простых кватернионов, отвечающих 12 разложениям числа 60 в произведений простых:

Общее число разложений такого кватерниона равно

Функции кватернионного переменного[править | править вики-текст]

Вспомогательные функции[править | править вики-текст]

Знак кватерниона вычисляется так:

.

Аргумент кватерниона — это угол поворота четырёхмерного вектора, который отсчитывается от вещественной единицы:

.

В дальнейшем используется представление заданного кватерниона в виде

Здесь  — вещественная часть кватерниона, . При этом , поэтому проходящая через и вещественную прямую плоскость имеет структуру алгебры комплексных чисел, что позволяет перенести на случай кватернионов произвольные аналитические функции. Они удовлетворяют стандартным соотношениям, если все аргументы имеют вид для фиксированного единичного вектора . В случае если требуется рассматривать кватернионы с разным направлением, формулы значительно усложняются, в силу некоммутативности алгебры кватернионов.

Элементарные функции[править | править вики-текст]

Стандартное определение аналитических функций на ассоциативной нормированной алгебре основано на разложении этих функций в степенные ряды. Рассуждения, доказывающие корректность определения таких функций, полностью аналогичны комплексному случаю и основаны на вычислении радиуса сходимости соответствующих степенных рядов. Учитывая указанное выше «комплексное» представление для заданного кватерниона, соответствующие ряды можно привести к указанной ниже компактной форме. Здесь приведены лишь некоторые наиболее употребительные аналитические функции, аналогично можно вычислить любую аналитическую функцию. Общее правило таково: если для комплексных чисел, то , где кватернион рассматривается в «комплексном» представлении .

Степень и логарифм

Отметим, что, как обычно в комплексном анализе, логарифм оказывается определён лишь с точностью до .

Тригонометрические функции

Регулярные функции[править | править вики-текст]

Существуют разные способы определения регулярных функций кватернионного переменного. Самый явный — рассмотрение кватернионно дифференцируемых функций, при этом можно рассматривать праводифференцируемые и леводифференцируемые функции, не совпадающие в силу некоммутативности умножения кватернионов. Очевидно, что их теория полностью аналогична. Определим кватернионно леводифференцируемую функцию как имеющую предел

Оказывается, что все такие функции имеют в некоторой окрестности точки вид

где  — постоянные кватернионы. Другой способ основан на использовании операторов

и рассмотрении таких кватернионных функций , для которых[5]

что полностью аналогично использованию операторов и в комплексном случае. При этом получаются аналоги интегральной теоремы Коши, теории вычетов, гармонических функций и рядов Лорана для кватернионных функций[6].

Производная Гато[править | править вики-текст]

Производная Гато функции кватернионного переменного определена согласно формуле

Производная Гато является аддитивным отображением приращения аргумента и может быть представлена в виде[7]

Здесь предполагается суммирование по индексу . Число слагаемых зависит от выбора функции . Выражения и называются компонентами производной.

Виды умножений[править | править вики-текст]

Умножение Грассмана[править | править вики-текст]

Так по-другому называется общепринятое умножение кватернионов ().

Евклидово умножение[править | править вики-текст]

Отличается от общепринятого тем, что вместо первого сомножителя берется сопряжённый к нему: . Оно также некоммутативно.

Скалярное произведение[править | править вики-текст]

Аналогично одноимённой операции для векторов:

.

Эту операцию можно использовать для выделения одного из коэффициентов, например, .

Определение модуля кватерниона можно видоизменить:

.

Внешнее произведение[править | править вики-текст]

.

Используется не очень часто, тем не менее рассматривается в дополнение к скалярному произведению.

Векторное произведение[править | править вики-текст]

Аналогично одноимённой операции для векторов. Результатом является тоже вектор:

.

Из истории[править | править вики-текст]

Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов»[8]

Система кватернионов была впервые опубликована Гамильтоном в 1843 году. Историки науки также обнаружили наброски по этой теме в неопубликованных рукописях Гаусса, относящихся к 18191820 годам.[9]

Бурное и чрезвычайно плодотворное развитие комплексного анализа в XIX веке стимулировало у математиков интерес к следующей задаче: найти новый вид чисел, аналогичный по свойствам комплексным, но содержащий не одну, а две мнимые единицы. Предполагалось, что такая модель будет полезна при решении пространственных задач математической физики. Однако работа в этом направлении оказалась безуспешной.

Новый вид чисел был обнаружен ирландским математиком Уильямом Гамильтоном в 1843 году, и он содержал не две, как ожидалось, а три мнимые единицы. Гамильтон назвал эти числа кватернионами. Позднее Фробениус строго доказал (1877) теорему, согласно которой расширить комплексное поле до поля или тела с двумя мнимыми единицами невозможно.

Несмотря на необычные свойства новых чисел (их некоммутативность), эта модель довольно быстро принесла практическую пользу. Максвелл использовал компактную кватернионную запись для формулировки своих уравнений электромагнитного поля.[10] Позднее на основе алгебры кватернионов был создан трёхмерный векторный анализ (Гиббс, Хевисайд).

Современное применение[править | править вики-текст]

В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионные модели в квантовой механике[11] и теории относительности[12]. Реальное применение кватернионы нашли в современной компьютерной графике и программировании игр[13], а также в вычислительной механике[14][15], в инерциальной навигации и теории управления[16][17]. С 2003 года издаётся журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»[18].

Во многих областях применения были найдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, в наши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяется матричное исчисление[19]. Однако там, где важно задавать трёхмерный поворот при помощи минимального числа скалярных параметров, использование параметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватерниона поворота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описание никогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами (например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этих параметров, когда описание вырождается[14][15].

Как алгебра над , кватернионы образуют вещественное векторное пространство , снабжённое тензором третьего ранга типа (1,2), иногда называемого структурным тензором. Как всякий тензор такого типа, отображает каждую 1-форму на и пару векторов из в вещественное число . Для любой фиксированной 1-формы превращается в ковариантный тензор второго ранга, который, в случае его симметрии, становится скалярным произведением на . Поскольку каждое вещественное векторное пространство является также вещественным линейным многообразием, такое скалярное произведение порождает тензорное поле, которое, при условии его невырожденности, становится (псевдо- или собственно-)евклидовой метрикой на . В случае кватернионов это скалярное произведение индефинитно, его сигнатура не зависит от 1-формы , а соответствующая псевдоевклидова метрика есть метрика Минковского[20]. Эта метрика автоматически продолжается на группу Ли ненулевых кватернионов вдоль её левоинвариантных векторных полей, образуя так называемую закрытую ФЛРУ (Фридман — Леметр — Робертсон — Уолкер) метрику[21] — важное решение уравнений Эйнштейна. Эти результаты проясняют некоторые аспекты проблемы совместимости квантовой механики и общей теории относительности в рамках теории квантовой гравитации[22].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кватернионы в программировании игр (GameDev.ru)
  2. Полак Л. С. Уильям Роуэн Гамильтон (к 150-летию со дня рождения) // Труды Института истории естествознания. — АН СССР, 1956. — Т. 15 (История физ.-мат. наук). — С. 273..
  3. Теорема Фробениуса
  4. John C. Baez. On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry, by John H. Conway and Derek A. Smith (англ.). — Review. Проверено 7 февраля 2009. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011.
  5. R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, — Comment. math. Helv. 8, pp.371—378, 1936.
  6. A. Sudbery Quaternionic Analysis, — Department of Mathematics, University of York, 1977.
  7. Выражение не является дробью и должно восприниматься как символ оператора. Данное обозначение предложено для того, чтобы сохранить преемственность с классическим анализом.
  8. В письме своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет: «…Но, конечно, надпись уже стёрлась» (Л. С. Полак Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике.— М.: Физматгиз, 1960.— С.103-104)
  9. Бурбаки Н.. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — М.: Иностранная литература, 1963. — С. 68.
  10. А. Н. Крылов Отзыв о работах академика П. П. Лазарева.
  11. Курочкин Ю. А. Кватернионы и некоторые приложения их в физике. Препринт диссертации № 109. — ИФ АН БССР. — 1976.
  12. Александрова Н. В. Исчисление кватернионов Гамильтона // Гамильтон У. Р. Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы. — М.: Наука, 1994. — (Классики науки).— С. 519—534.
  13. Побегайло А. П. Применение кватернионов в компьютерной гео­метрии и графике. — Минск: Изд-во БГУ, 2010. — 216 с. — ISBN 978-985-518-281-9..
  14. 1 2 Виттенбург Й. Динамика систем твёрдых тел. — М.: Мир, 1980. — 292 с. — С. 25—26, 34—36.
  15. 1 2 Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел. — Брянск: Изд-во БГТУ, 1997. — 156 с. — ISBN 5-230-02435-6.. — С. 22—26, 31—36.
  16. Ишлинский А. Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. — М.: Наука, 1976. — 672 с. — С. 87—103, 593—604.
  17. Чуб В. Ф. Уравнения инерциальной навигации и кватернионная теория пространства-времени. Проверено 9 декабря 2013.
  18. Журнал «Гиперкомплексные числа в геометрии и физике»
  19. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. — М.-Л.: ГОНТИ, 1937. — Т. I. — С. 229—231.. — 432 с.
  20. Vladimir Trifonov A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem // Euruphysics Letters, — IOP Publishing, V. 32, № 8 / 12.1995. — С. 621—626 — DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
  21. Vladimir Trifonov Natural Geometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 46, № 2 / 02.2007. — С. 251—257 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).
  22. Vladimir Trifonov GR-Friendly Description of Quantum Systems // International Journal of Theoretical Physics, — Springer Netherlands, V. 47, № 2 / 02.2008. — С. 492—510 — ISSN 0020-7748 (Print) ISSN 1572-9575 (Online).

Литература[править | править вики-текст]