Кеплеровы элементы орбиты

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кеплеровские элементы орбиты, включая аргумент перицентра (рис.1)
Части эллипса (рис.2)

Кеплеровы элементы — шесть элементов орбиты, определяющих положение небесного тела в пространстве в задаче двух тел:

  • большая полуось (),
  • эксцентриситет (),
  • наклонение (),
  • долгота восходящего узла (),
  • аргумент перицентра (),
  • средняя аномалия ().

Первые два определяют форму орбиты, третий, четвёртый и пятый — ориентацию плоскости орбиты по отношению к базовой системе координат, шестой — положение тела на орбите.

Большая полуось[править | править вики-текст]

Большая полуось — это половина главной оси эллипса (обозначена на рис.2 как a). В астрономии характеризует максимальное расстояние небесного тела от центра эллиптической орбиты.[источник не указан 1248 дней]

Эксцентриситет[править | править вики-текст]

Эксцентрисите́т (обозначается «» или «ε») — числовая характеристика конического сечения. Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.[1] Эксцентриситет характеризует «сжатость» орбиты. Он выражается по формуле:

, где  — малая полуось (см. рис.2)

Можно разделить внешний вид орбиты на пять групп:

Наклонение[править | править вики-текст]

A — Объект
B — Центральный объект
C — Плоскость отсчёта
D — Плоскость орбиты
i — Наклонение

Наклонение орбиты (накло́н орбиты, накло́нность орбиты, наклоне́ние) небесного тела — это угол между плоскостью его орбиты и плоскостью отсчёта (базовой плоскостью).

Обычно обозначается буквой i (от англ. inclination). Наклонение измеряется в угловых градусах, минутах и секундах.

Если °, то движение небесного тела называется прямым[2].
Если °°, то движение небесного тела называется обратным.

Зная наклонение двух орбит к одной плоскости отсчёта и долготы их восходящих узлов, можно вычислить угол между плоскостями этих двух орбит — их взаимное наклонение, по формуле косинуса угла.

Долгота восходящего узла[править | править вики-текст]

Долгота́ восходя́щего узла́ — один из основных элементов орбиты, используемый для математического описания ориентации плоскости орбиты относительно базовой плоскости. Определяет угол в базовой плоскости, образуемый между базовым направлением на нулевую точку и направлением на точку восходящего узла орбиты, в которой орбита пересекает базовую плоскость в направлении с юга на север. Для определения восходящего и нисходящего узла выбирают некоторую (так называемую базовую) плоскость, содержащую притягивающий центр. В качестве базовой обычно используют плоскость эклиптики (движение планет, комет, астероидов вокруг Солнца), плоскость экватора планеты (движение спутников вокруг планеты) и т. д. Нулевая точка — Первая точка Овна (точка весеннего равноденствия). Угол измеряется от направления на нулевую точку против часовой стрелки.

Восходящий узел обозначается ☊, или Ω.

Аргумент перицентра[править | править вики-текст]

Аргуме́нт перице́нтра — определяется как угол между направлениями из притягивающего центра на восходящий узел орбиты и на перицентр (ближайшую к притягивающему центру точку орбиты спутника), или угол между линией узлов и линией апсид. Отсчитывается из притягивающего центра в направлении движения спутника, обычно выбирается в пределах 0°-360°.

При исследовании экзопланет и двойных звёзд в качестве базовой используют картинную плоскость — плоскость, проходящую через звезду и перпендикулярную лучу наблюдения звезды с Земли. Орбита экзопланеты, в общем случае случайным образом ориентированная относительно наблюдателя, пересекает эту плоскость в двух точках. Точка, где планета пересекает картинную плоскость, приближаясь к наблюдателю, считается восходящим узлом орбиты, а точка, где планета пересекает картинную плоскость, удаляясь от наблюдателя, считается нисходящим узлом. В этом случае аргумент перицентра отсчитывается из притягивающего центра против часовой стрелки.

Обозначается ().

Вместо аргумента перигелия часто используется другой угол, долгота перигелия, обозначаемый как . Он определяется как сумма долготы восходящего узла и аргумента перигелия. Это — несколько необычный угол, так как он измеряется частично вдоль эклиптики, а частично — вдоль орбитальной плоскости. Однако часто он более практичен, чем аргумент перигелия, так как хорошо определен даже когда наклонение орбиты близко к нулю, когда направление на восходящий узел становится неопределенным[3].

Средняя аномалия[править | править вики-текст]

Анимация, иллюстрирующая истинную аномалию, эксцентрическую аномалию, среднюю аномалию и решение уравнения Кеплера.
Аномалии (рис.3)

Средняя аномалия для тела, движущегося по невозмущённой орбите — произведение его среднего движения и интервала времени после прохождения перицентра. Таким образом, средняя аномалия есть угловое расстояние от перицентра гипотетического тела, движущегося с постоянной угловой скоростью, равной среднему движению.

Обозначается буквой (от англ. mean anomaly)

В звёздной динамике средняя аномалия вычисляется по следующим формулам:

где:

  •  — средняя аномалия на эпоху ,
  •  — начальная эпоха,
  •  — эпоха, на которую производятся вычисления, и
  •  — среднее движение.

Либо через уравнение Кеплера:

где:

Вычисление кеплеровых элементов[править | править вики-текст]

Рассмотрим следующую задачу: пусть имеется невозмущённое движение и известны вектор положения и вектор скорости на момент времени . Найдём кеплеровы элементы орбиты.

Прежде всего, вычислим большую полуось:

По интегралу энергии:

(1) , где μ — гравитационный параметр, равный произведению гравитационной постоянной на массу небесного тела; для Земли μ = 3,986005·105 км³/c², для Солнца μ = 1,32712438·1011 км³/c².

Следовательно, по формуле (1) находим .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А. В. Акопян, А. А. Заславский Геометрические свойства кривых второго порядка, — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
  2. То есть, объект движется вокруг Солнца в том же направлении, что и Земля
  3. Hannu Karttunen, Pekka Kröger, Heikki Oja, Markku Poutanen, Karl Johan Donner. 6. Celestial Mechanics // Fundamental Astronomy. — 5-е изд. — Springer Science & Business Media, 2007. — С. 117—118.

См. также[править | править вики-текст]