Кинетическое уравнение Больцмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравне́ние Бо́льцмана (кинети́ческое уравнение Больцмана) — уравнение, названное по имени Людвига Больцмана, который его впервые рассмотрел, и описывающее статистическое распределение частиц в газе или жидкости. Является одним из самых важных уравнений физической кинетики (области статистической физики, которая описывает системы, далёкие от термодинамического равновесия, например, в присутствии градиентов температур и электрического поля). Уравнение Больцмана используется для изучения переноса тепла и электрического заряда в жидкостях и газах, и из него выводятся транспортные свойства, такие как электропроводность, эффект Холла, вязкость и теплопроводность. Уравнение применимо для разрежённых систем, где время взаимодействия между частицами мало (гипотеза молекулярного хаоса).

Формулировка[править | править код]

Уравнение Больцмана описывает эволюцию во времени функции распределения в одночастичном фазовом пространстве, где , и  — координата, импульс и время, соответственно. Распределение определяется так, что

пропорционально числу частиц в фазовом объёме в момент времени . Уравнение Больцмана

Здесь  — поле сил, действующее на частицы в жидкости или газе, а  — масса частиц. Слагаемое в правой части уравнения добавлено для учёта столкновений между частицами и называется интегралом столкновений. Если оно равно нулю, то частицы не сталкиваются вовсе. Этот случай часто называют одночастичным уравнением Лиувилля. Если поле сил заменить подходящим самосогласованным полем, зависящим от функции распределения , то получим уравнение Власова, описывающее динамику заряженных частиц плазмы в самосогласованном поле. Классическое же уравнение Больцмана используется в физике плазмы, а также в физике полупроводников и металлов (для описания кинетических явлений, то есть переноса заряда или тепла, в электронной жидкости).

В гамильтоновой механике уравнение Больцмана часто записывается в более общем виде

,

где  — оператор Лиувилля, описывающий эволюцию объёма фазового пространства и  — оператор столкновений. Нерелятивистская форма оператора выглядит следующим образом

а в общей теории относительности

где  — символ Кристоффеля.

Интеграл столкновений[править | править код]

Столкновения между частицами приводят к изменению их скоростей. Если задаёт вероятность рассеяния частицы из состояния со скоростью в состояние со скоростью , то интеграл столкновений для классических частиц записывается в виде

.

В случае квантового характера статистики частиц это выражение осложняется невозможностью двум частицам находиться в состоянии с одинаковыми квантовыми числами, а поэтому нужно учитывать невозможность рассеяния в занятые состояния.

Приближение времени релаксации[править | править код]

Уравнение Больцмана — сложное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных. Кроме того, интеграл столкновений зависит от конкретной системы, от типа взаимодействия между частицами и других факторов. Нахождение общих характеристик неравновесных процессов — непростое дело. Однако известно, что в состоянии термодинамического равновесия интеграл столкновений равен нулю. Действительно, в состоянии равновесия в однородной системе при отсутствии внешних полей все производные в левой части уравнения Больцмана равны нулю, поэтому интеграл столкновений тоже должен равняться нулю. При малых отклонениях от равновесия функцию распределения можно представить в виде

,

где — равновесная функция распределения, которая известна из термодинамики и зависит только от скоростей частиц, а — небольшое отклонение.

В этом случае можно разложить интеграл столкновений в ряд Тейлора относительно функции , и записать его в виде:

,

где время релаксации. Такое приближение называется приближением времени релаксации или моделью интеграла столкновений Бхатнагара-Гросса-Крука[en]. Время релаксации, входящее в уравнениe Больцмана, зависит от скорости частиц, а следовательно энергии. Время релаксации можно рассчитать для конкретной системы с конкретными процессами рассеяния частиц.

Уравнениe Больцмана в приближении времени релаксации записывается в виде

.

Вывод уравнения Больцмана[править | править код]

Микроскопический вывод уравнения Больцмана из первых принципов (исходя из точного уравнения Лиувилля для всех частиц среды) производится путём обрыва цепочки уравнений Боголюбова на уровне парной корреляционной функции для классических[1] и квантовых[2] систем. Учёт в цепочке кинетических уравнений корреляционных функций более высокого порядка позволяет находить поправки к уравнению Больцмана[3].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Боголюбов Н. Н. Кинетические уравнения (неопр.) // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1946. — Т. 16 (8). — С. 691—702.
  2. Боголюбов Н. Н., Гуров К. П. Кинетические уравнения в квантовой механике (неопр.) // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1947. — Т. 17 (7). — С. 614—628.
  3. Шелест А. В. Метод Боголюбова в динамической теории кинетических уравнений. — М.: Наука, 1990. 159 с. ISBN 5-02-014030-9.

Ссылки[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. — М.: Мир, 1978. — 495 с.
  • под ред. Либовиц Дж. Л., Монтролл Е. У. Неравновесные явления: уравнение Больцмана. — М.: Мир, 1986. — 272 с.
  • Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. — М.: ИЛ, 1960. — 120 с.
  • Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М.: Наука, 1974. 207 с.