Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Первая страница книги

Китаб аль-Джебр ва-ль-Мукабаля (араб. الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة‎‎ — «Краткая книга восполнения и противопоставления») — известная книга персидского учёного IX века Мухаммеда ибн Мусы аль-Хорезми, от названия которой произошёл термин «алгебра», имя автора этой книги породило термин «алгоритм».

Историческое значение[править | править вики-текст]

Книга — важная веха развития арифметики и классической алгебры, науки решения уравнений. Она столетиями определяла характер алгебры как практической науки без аксиоматической основы. В книге Аль-Хорезми систематизировал и изложил два известных ему выдающихся достижения индийских математиков — арифметику в позиционной десятичной системе счисления и решение квадратного уравнения[1]. Эти результаты были получены Брахмагуптой и его предшественниками не позднее VII века. Но поскольку Европа познакомилась с этими достижениями по латинскому переводу XII века книги Аль-Хорезми, то начало развития современной европейской математики оказалось связанным с его книгой и его именем.

Содержание[править | править вики-текст]

Книга делится на три части:

  • уравнения первой и второй степени с упражнениями
  • практическая тригонометрия
  • решения задач по распределению наследства

В теоретической части своего трактата аль-Хорезми даёт классификацию уравнений 1-й и 2-й степени и выделяет шесть видов квадратного уравнения ax^2+bx+c=0:

  • "квадрат" равен "корню" ax^2 = bx;
  • "квадрат" равен свободному члену ax^2 = c;
  • "корень" равен свободному члену bx = c ;
  • "квадрат" и "корень" равны свободному члену a^2 + bx = c;
  • "квадрат" и свободный член равны "корню" ax^2 + c = bx ;
  • "корень" и свободный член равны "квадрату" bx + c = ax^2.

Такая сложная классификация объясняется требованием, чтобы в обеих частях уравнения стояли положительные коэффициенты, и при этом Аль-Хорезми искал только положительные корни.

Охарактеризовав каждый вид уравнений и показав на примерах правила их решения, аль-Хорезми даёт геометрическое доказательство этих правил для трёх последних видов, когда решение не сводится к простому извлечению корня.

Для приведения квадратно канонических видов аль-Хорезми вводит два действия. Первое из них, аль-джабр, состоит в перенесении отрицательного члена из одной части в другую для получения в обеих частях положительных членов. Второе действие — аль-мукабала — состоит в приведении подобных членов в обеих частях уравнения. Кроме того, аль-Хорезми вводит правило умножения многочленов. Применение всех этих действий и введённых выше правил он показывает на примере 40 задач.

Данные шесть типов уравнений на протяжении веков были «ядром» алгебры. Только в 1544 году Михаэлем Штифелем (нем. Michael Stifel) были допущены отрицательные коэффициенты, что позволило снизить количество типов уравнений.

Геометрическая часть

Геометрическая часть посвящена, в основном, измерению площадей и объёмов геометрических фигур.

Практическая часть

В практической части автор приводит примеры применения алгебраических методов в решении хозяйственно-бытовых, измерение земель, строительство каналов. В «главе о сделках» рассматривается правило для нахождения неизвестного члена пропорции по трём известным членам, а в «главе об измерении» — правила для вычисления площади различных многоугольников, приближённая формула для площади круга и формула объёма усечённой пирамиды). К нему присоединена также «Книга о завещаниях», посвящённая математическим задачам, возникающим при разделе наследства в соответствии с мусульманским каноническим правом.

Алгоритм

Латинский перевод книги начинается словами «Dixit Algorizmi» (сказал Алгоризми). Так как сочинение об арифметике было очень популярно в Европе, то латинизированное имя автора (Algorizmi или Algorizmus) стало нарицательным и средневековые математики так называли арифметику, основанную на десятичной позиционной системе счисления. Позднее европейские математики стали называть так всякое вычисление по строго определённым правилам. В настоящее время термин «алгоритм» означает набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий.

Переводы[править | править вики-текст]

Книга сохранилась в арабской копии и нескольких переводах на латынь.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Вопрос о происхождении десятичной системы исчерпывается тем, что у самого Аль-Хорезми есть книга об "индийском счёте". Однако вопрос об оригинальности решения квадратного уравнения не столь ясен. Брахмагупта решал уравнение алгебраически, а Аль-Хорезми геометрически.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]