Классификатор подобъектов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий, классификатор подобъектов — специальный объект Ω категории; интуитивно, подобъекты X соответствуют морфизмам из X в Ω. Способ, которым он «классифицирует» объекты можно описать как присвоение некоторым элементам X значения «истина».

Вводный пример[править | править вики-текст]

В категории множеств классификатором подобъектов является множество Ω = {0,1}: каждому подмножеству A произвольного множества S можно сопоставить его характеристическую функцию — функцию из S в Ω, принимающую значение 1 на подмножестве A и 0 на его дополнении, и обратно, любая функция из S в Ω является характеристической функцией некоторого подмножества. Если χA — некоторая характеристическая функция на множестве S, следующая диаграмма является декартовым квадратом:

SubobjectClassifier-01.png

Здесь true: {0} → {0, 1} — отображение, переводящее 0 в 1.

Определение[править | править вики-текст]

В общем случае можно рассмотреть произвольную категорию C, имеющую терминальный объект, который мы будем обозначать 1. Объект Ω категории C — классификатор подобъектов C, если существует морфизм

1 → Ω

со следующим свойством:

для любого мономорфизма j: UX существует единственный морфизм χ j: X → Ω, такой что квадрат
SubobjectClassifier-02.png
является декартовым, то есть U — предел диаграммы
SubobjectClassifier-03.png

Морфизм χ j называется классифицирующим морфизмом для подобъекта, представленного мономорфизмом j.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  • Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
  • П. Т. Джонстон. Теория топосов / Под ред. Ю.И. Манина. — М.: Наука, 1986. — 440 с.
  • Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Artin Michael, Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier. Séminaire de Géometrie Algébrique IV. — Springer-Verlag, 1964.
  • Mac Lane Saunders. Sheaves in Geometry and Logic: a First Introduction to Topos Theory. — Springer-Verlag, 1992. — ISBN 0-387-97710-4.