Классификация простых конечных групп

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Теорема о классификации простых конечных групп — теорема теории групп, классифицирующая с точностью до изоморфизма простые конечные группы («элементарные кирпичики», из которых можно построить любую конечную группу, так же, как любое натуральное число можно разложить в произведение простых). Теорема теорема Жордана — Гёльдера является более точным способом выражения этого факта для конечных групп. Однако существенное отличие от факторизации целых чисел заключается в том, что такие «кирпичики» не будут определять группу однозначно, так как может существовать множество неизоморфных групп с теми же композиционными рядами[en]. Теорема считается доказанной в серии работ примерно 100 авторов, опубликованных в основном с 1955 по 2004 годы и, в общей сложности, содержащих тысячи страниц текста. Ричард Лайонс[en], Рональд Соломон[en] и (ранее) Дэниел Горенстейн[en] постепенно публикуют упрощённую и пересмотренную версию доказательства.

Формулировка[править | править код]

Теорема: Любая конечная простая группа изоморфна либо одной из 26 спорадических групп, либо принадлежит одному из следующих трёх семейств:
  1. циклические группы простого порядка;
  2. знакопеременные группы перестановок не менее 5 элементов;
  3. простые группы типа Ли, а именно:

Теорема классификации находит применение во многих областях математики, так как вопросы о структуре конечных групп (и их действия на другие математические объекты) могут быть иногда сведены к вопросам о конечных простых группах. Благодаря теореме о классификации на такие вопросы можно иногда ответить, проверив каждое семейство простых групп и каждую спорадическую группу.

Дэниел Горенстейн[en] объявил в 1983 году, что все конечные простые группы классифицированы, но заявление было преждевременным, так как он был недостаточно осведомлён относительно классификации квазитонких групп[en]. О завершении доказательства объявил Ашбахер[1] в 2004 году после того, как он вместе со Смитом опубликовали 1221-страничное доказательство для отсутствующего квазитонкого случая.

Обзор доказательства теоремы классификации[править | править код]

Горенстейн[2][3] написал двухтомник с набросками доказательства для низких рангов и нечётных характеристик, а Ашбахер[4] написал 3-й том, покрывающий оставшиеся случаи характеристики 2. Доказательство можно разбить на несколько основных частей:

Группы малого 2-ранга[править | править код]

Простые группы низкого 2-ранга[en]* являются, в основном, группами лиева типа с малым рангом над полями нечётной характеристики, наряду с пятью знакопеременными группами, семью группами характеристического типа 2 и девятью спорадическими группами.

Простые группы малого 2-ранга включают:

  • Группы 2-ранга 0, другими словами, группы нечётного порядка, которые все являются разрешимыми по теореме Томпсона — Фейта[en].
  • Группы 2-ранга 1. Силовские 2-подгруппы являются либо циклическими, с которыми легко работать с использованием функций перехода, либо обобщёнными кватернионами, с которыми работают при помощи теоремы Брауэра — Сузуки[en]. В частности, не существует простых групп 2-ранга 1.
  • Группы 2-ранга 2. Альперин показал, что силовская подгруппа должна быть диэдральной, квазидиэдральной, сплетённой или силовской 2-подгруппой группы U3(4). Первый случай покрывает теорема Горенстейна — Уолтера, которая показывает, что только простые группы изоморфны L2(q) для нечётных q, или группе A7. Второй и третий случаи покрывает Теорема Альперина-Брауэра-Горенстейна, из которой вытекает, что только простые группы изоморфны или для нечётных q, или группе M11. Последний случай покрывает Лайонс, показавший, что является единственной простой возможностью.
  • Группы секционного 2-ранга, не превосходящего 4, классифицируются теоремой Горенстейна – Харады[en].

Классификация групп малого 2-ранга, особенно рангов, не превосходящих 2, интенсивно использует обычную и модулярную теорию характеров, которая почти нигде не применяется явно в других местах классификации.

Все группы за пределами малых 2-рангов можно разбить на два больших класса — группы компонентного типа и группы характеристического типа 2. Если группа имеет секционный 2-ранг, не меньший 5, МакВильямс показал, что её силовские 2-подгруппы связны, а из теоремы баланса[en] следует, что любая простая группа со связной силовской 2-подгруппой либо является группой компонентного типа, либо группой характеристического типа 2. (Для групп низкого 2-ранга доказательство этого не проходит, поскольку теоремы, такие как теорема о сигнализаторном функторе[en], работают только для групп с элементарными абелевыми подгруппами ранга по меньшей мере 3.)

Группы компонентного типа[править | править код]

Говорят, что группа является группой компонентного типа, если для некоторого централизатора C инволюции C/O(C) имеет компоненту (здесь O(C) — ядро C, максимальная нормальная подгруппа нечётного порядка). Они, более или менее, являются группами лиева типа нечётной характеристики с большим рангом и знакопеременными группами вместе с некоторыми спорадическими группами. Главный шаг в данном случае — исключить препятствие с ядром инволюции. Делается это с помощью B-теоремы[en], которая утверждает, что любая компонента C/O(C) является образом компоненты ядра C.

Идея заключается в том, что эти группы имеют централизатор инволюции с компонентой, являющейся меньшей квазипростой группой, которая может считаться уже известной по индукции. Так что для классификации этих групп можно взять каждое центральное расширение каждой известной конечной простой группы и найти все простые группы с централизатором инволюции с этой группой в качестве компоненты. Это даёт огромное число различных случаев, требующих проверки — есть не только 26 спорадических групп и 16 семейств групп лиева типа и знакопеременных групп, но также многие группы малого ранга или над малыми полями ведут себя отлично от основного случая и должны быть рассмотрены отдельно. Кроме того, группы лиева типа чётной и нечётной характеристики также ведут себя вполне различимо.

Группы характеристического типа 2[править | править код]

Группа имеет характеристический тип 2, если обобщённая группа Фиттинга[en] F*(Y) любой 2-локальной подгруппы Y является 2-группой. Как подсказывает название, эти группы, грубо говоря, являются группами лиева типа над полями характеристики 2, плюс пригоршня других групп, знакопеременных, спорадических или нечётной характеристики. Классификация этих групп делится на случаи большого и малого ранга, где ранг — наибольший ранг нечётной абелевой подгруппы, нормализующей нетривиальную 2-подгруппу, и этот ранг часто (но не всегда) является рангом подалгебры Картана, когда группа является группой лиева типа характеристики 2.

Группы ранга 1 — это тонкие группы[en], классифицированные Ашбахером, а группы ранга 2 — это имеющие дурную славу квазитонкие группы[en], классифицированные Ашбахером и Смитом. Они, грубо говоря, соответствуют группам лиева типа рангов 1 или 2 над полями характеристики 2.

Группы ранга по меньшей мере 3 делятся на три класса согласно теореме о трихотомии[en], доказанной Ашбахером для ранга 3 и Горонстейном с Лайонсом для ранга 4 и выше. Три класса — это группы типа GF(2) (в основном классифицированные Тиммесфельдом), группы «стандартного типа» для некоторых нечётных простых (классифицированы теоремой Гилмана — Гриса и работами некоторых других авторов), и группы уникального типа, для которых из результата Ашбахера вытекает, что среди них нет простых групп. Случай общего высокого ранга представляют большей частью группы лиева типа над полями характеристики 2 с рангом по меньшей мере 3 или 4.

Существование и единственность простых групп[править | править код]

Большая часть классификации даёт описание каждой простой группы. Необходимо проверить, что существует простая группа для каждого описанного случая и что она единственна. Это даёт большое число дополнительных проблем. Например, оригинальные доказательства существования и единственности Монстра занимают около 200 страниц, а идентификация групп Ри Томпсоном и Бомбиери была одной из труднейших частей классификации. Многие из доказательств существования и некоторые из доказательств единственности для спорадических групп первоначально использовали компьютерные вычисления, большинство из которых были заменены более короткими доказательствами, сделанными вручную.

История вопроса[править | править код]

Программа Горенстейна[править | править код]

В 1972 году Горенстейн[5] объявил программу завершения классификации конечных простых групп, состоящую из следующих 16 шагов:

  1. Группы низкого 2-ранга. По существу, это было сделано Горенстейном и Харадой, которые классифицировали группы с секционным 2-рангом, не превосходящим 4. Большинство случаев 2-ранга, не превосходящего 2, уже было сделано к тому времени Горенстейном, объявившим программу.
  2. Полупростота 2-слоёв. Задача заключается в доказательстве, что 2-слой централизатора инволюции в простой группе является полупростым.
  3. Стандартная форма при нечётной характеристике. Если группа имеет инволюцию с 2-компонентой, являющейся группой лиева типа с нечётной характеристикой, нужно показать, что группа имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», что означает, что централизатор инволюции имеет компоненту лиева типа с нечётной характеристикой и имеет централизатор с 2-рангом 1.
  4. Классификация групп нечётного типа. Задача заключается в доказательстве, что если группа имеет централизатор инволюции в «стандартной форме», то эта группа является группой лиева типа с нечётной характеристикой. Задачу решил Ашбахер, доказав классическую теорему об инволюции[en].
  5. Квазистандартная форма
  6. Центральные инволюции
  7. Классификация знакопеременных групп
  8. Некоторые спорадические группы
  9. Тонкие группы. Простые тонкие конечные группы[en] с 2-локальным p-рангом, не превосходящим 1 для нечётных простых p, классифицировал Ашбахер в 1978
  10. Группы со строго p-вложенной подгруппой для нечётных p
  11. Метод сигнализаторного функтора для нечётных простых чисел. Главная задача — доказать теорему о сигнализаторном функторе[en] для неразрешимых сигнализаторных функторов. Задачу решил Макбрайд в 1982.
  12. Группы характеристического типа p. Это проблема групп со строго p-вложенной 2-локальной подгруппой для нечётного p, которую решил Ашбахер.
  13. Квазитонкие группы. Квазитонкая группа[en] — это группа, 2-локальные подгруппы которой имеют p-ранг, не превосходящий 2, для всех нечётных простых p. Задача заключается в классификации таких простых групп с характеристическим типом 2. Задачу выполнили Ашбахер и Смит в 2004 году.
  14. Группы низкого 2-локального 3-ранга. Задача была, по существу, решена теоремой о трихотомии[en] Ашбахера для групп с e(G)=3. Главное изменение заключалось в замене 2-локального 3-ранга на 2-локальный p-ранг для нечётных простых чисел.
  15. Централизаторы 3-элементов в стандартной форме. Задача, по существу, решена теоремой о трихотомии[en].
  16. Классификация простых групп с характеристическим типом 2. Классификация была завершена с помощью Теорема Гилмана — Гриса[en], в которой 3-элементы заменены на p-элементы для нечётных простых чисел.

Хронология доказательства[править | править код]

Большая часть информации в списке взята из статьи Соломона[6]. Приведённые даты, как правило, являются датой публикации полного доказательства результата. Эта дата иногда на несколько лет позже доказательства или первого объявления результата, так что может показаться, что события идут в «неверном» порядке.

Дата публикации
1832 Галуа вводит нормальные подгруппы и находит простые группы An () и PSL2(Fp) ()
1854 Кэли определяет абстрактные группы
1861 Матьё описывает первые две группы Матьё M11, M12, первые спорадические простые группы, и объявляет о существовании группы M24.
1870 Жордан перечисляет некоторые простые группы — знакопеременные и проективные специальные линейные группы, и подчёркивает важность этих простых групп.
1872 Сюлов доказывает Теоремы Силова
1873 Матьё вводит ещё три группы Матьё M22, M23, M24.
1892 Отто Гёльдер доказывает, что порядок любой неабелевой конечной простой группы должен быть произведением по меньшей мере четырёх (не обязательно различных) простых чисел и ставит вопрос о классификации конечных простых групп.
1893 Коул классифицирует простые группы с порядком до 660
1896 Фробениус и Бёрнсайд начали изучение теории характеров конечных групп.
1899 Бёрнсайд классифицирует простые группы, в которых централизатор любой инволюции является нетривиальной элементарной абелевой 2-группой.
1901 Фробениус доказывает, что группа Фробениуса[en] имеет ядро Фробениуса, так что она не является простой.
1901 Леонард Диксон определяет классические группы над произвольными конечными полями и исключительные группы типа G2 над полями с нечётной характеристикой.
1901 Диксон вводит исключительные конечные простые группы типа E6.
1904 Бёрнсайд использует теорию характеров для доказательства теоремы Бёрнсайда, что порядок любой неабелевой простой группы должен делиться по меньшей мере на 3 различных простых числа.
1905 Диксон вводит простые группы типа G2 над полями с чётной характеристикой
1911 Бёрнсайд высказывает гипотезу, что любая неабелева конечная простая группа имеет чётный порядок
1928 Холл[en] доказывает существование подгрупп Холла[en] разрешимых групп
1933 Холл начинает изучение p-групп
1935 Брауэр начинает изучение модулярных характеров[en]
1936 Цассенхаус[en] классифицирует конечные строго 3-транзитивные группы перестановок
1938 Фиттинг[en] вводит подгруппу Фиттинга[en] и доказывает теорему Фиттинга, что для разрешимых групп подгруппа Фиттинга содержит централизатор группы.
1942 Брауэр описывает модульные характеры групп, делящиеся на простые числа первой степени.
1954 Брауэр классифицирует простые группы с GL2(Fq) в качестве централизатора инволюции.
1955 Из теоремы Брауэра — Фаулера[en] следует, что число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции конечно, что даёт повод для попытки классификации с использованием централизаторов инволюций.
1955 Шевалле вводит группы Шевалле, в частности, исключительные простые группы типов F4, E7 и E8.
1956 Теорема Холла — Хигмана[en]
1957 Сузуки показал, что все конечные простые CA-группы нечётного порядка цикличны.
1958 Теоерма Брауэра — Сузуки — Уолла[en] описывает проективные специальные линейные группы ранга 1 и классифицирует простые CA-группы.
1959 Штейнберг ввёл группы Штейнберга, что дало новые конечные простые группы типов 3D4 и 2E6 (позднее, почти в то же время, группы нашёл независимо Жак Титс).
1959 Теорема Брауэра — Сузуки[en] о группах с обобщёнными кватернионными силовскими 2-подгруппами показала, что среди них нет простых групп.
1960 Томпсон доказал, что группа с автоморфизмами без неподвижных точек простого порядка нильпотентна.
1960 Фейт, Холл и Томпсон показывают, что все конечные простые CN-группы[en] нечётного порядка цикличны.
1960 Сузуки вводит группы Сузуки[en] типа 2B2.
1961 Ри вводит группы Ри типа 2F4 и 2G2.
1963 Фейт и Томпсон доказали теорему о нечётном порядке[en].
1964 Титс вводит BN-пары для групп лиева типа и находит группу Титса
1965 Теорема Горенстейна — Уолтера[en] классифицирует группы с диэдральными силовскими 2-подгруппами.
1966 Глауберман доказывает теорему Z*[en]
1966 Янко вводит Группа Янко J1[en], первая новая спорадическая группа почти за столетие.
1968 Глауберман доказывает теорему ZJ[en]
1968 Хигман и Симс вводят группу Хигмана — Симса[en]
1968 Конвей вводит группы Конвея[en]
1969 Теорема Уолтера[en] классифицирует группы с абелевыми силовскими 2-подгруппами
1969 Появление спорадической группы Сузуки[en], группы Янко J2, группы Янко J3[en], группы МакЛафлина[en] и группы Хельда[en].
1969 Горенстейн вводит сигнализаторные функторы[en], основываясь на идеях Томпсона.
1970 Макуильямс показал, что 2-группы без нормальных абелевых подгрупп ранга 3 имеют секционный 2-ранг, не превосходящий 4. (Простые группы с силовскими подгруппами, удовлетворяющие последнему условию, позже классифицировали Горенстейн и Харада.)
1970 Бендер вводит подгруппу Фиттинга[en]
1970 Теорема Альперина-Брауэра-Горенстейна[en] классифицирует группы с квазидиэдральными или скрученными силовскими 2-подгруппами, завершая тем самым классификацию простых групп с 2-рангом, не превосходящим 2
1971 Фишер вводит три группы Фишера
1971 Томпсон классифицирует квадратичные пары[en]
1971 Бендер классифицирует группы с сильно вложенной подгруппой[en]
1972 Горенстейн предлагает 16-шаговую программу классификации конечных простых групп.
1972 Лайонс вводит группу Лайонса[en]
1973 Рудвалис представляет группу Рудвалиса
1973 Фишер открывает группу «Малый Монстр»[en] (не опубликовано), которую Фишер и Грисс используют для открытия группы «Монстр», которая, в свою очередь, приводит к обнаружению Томпсоном cпорадической группы Томпсона[en] и Нортоном группы Харады-Нортона[en] (также найдена другим способом Харадой).
1974 Томпсон классифицирует N-группы[en], группы, в которых все локальные подгруппы разрешимы.
1974 Теорема Горенстейна - Харады[en] классифицирует простые группы, секционные 2-ранги которых не превосходят 4, деля тем самым оставшиеся конечные простые группы на группы компонентного типа и группы характеристического типа 2.
1974 Титс показывает, что группы с парами (B, N) ранга, не меньшего 3, являются группами лиева типа
1974 Ашбахер классифицирует группы с подходящим 2-порождённым ядром[en]
1975 Горенстейн и Уолтер доказывают теорему о L-балансе[en]
1976 Глауберман доказывает теорему о разрешимом сигнализаторном функторе[en]
1976 Ашбахер доказывает теорему о компонентах[en], показывая, что группы нечётного типа, удовлетворяющие некоторым условиям, имеют компоненту в стандартной форме. Группы с компонентой в стандартной форме были классифицированы в большой коллекции статей различных авторов.
1976 О’Нан вводит группу О'Нана[en]
1976 Янко вводит группу Янко J4[en], последнюю открытую спорадическую группу
1977 Ашбахер описывает группы лиева типа с нечётной характеристикой в своей классической теореме об инволюции[en]. После этой теоремы, которая, в некотором смысле, имеет дело с «большинством» простых групп, наступило чувство, что конец классификации не за горами.
1978 Тиммесфельд доказывает O2 экстраспециальную теорему, разбив тем самым классификацию групп типа GF(2)[en] на несколько меньших задач.
1978 Ашбахер классифицирует тонкие конечные группы[en], которые, главным образом, являются группами лиева типа с рангом 1 над полем чётной характеристики.
1981 Бомбиери использует теорию исключений для завершения работы Томпсона по описанию групп Ри, одного из самых трудных шагов классификации.
1982 Макбрайд доказывает теорему о сигнализаторном функторе[en] для всех конечных групп.
1982 Грисс строит группу «Монстр» вручную
1983 Теорема Гилмана — Гриса[en] классифицирует группы характеристического типа 2 и ранга по меньшей мере 4 со стандартными компонентами, одним из трёх случаев теоремы о трихотомии.
1983 Ашбахер доказывает, что никакая конечная группа не удовлетворяет гипотезе уникальности[en], одному из трёх случаев теоремы о трихотомии для групп характеристического типа 2.
1983 Горенстейн и Лайонс доказывают теорему о трихотомии[en] для групп характеристического типа 2 и ранга, не меньшего 4, в то время как Ашбахер доказывает её для ранга 3. Это делит такие группы на 3 подкласса — случай уникальности, группы типа GF(2) и группы со стандартными компонентами.
1983 Горенстейн объявляет о завершении доказательства теоремы классификации. Несколько преждевременно, поскольку доказательство для квазитонкого случая не завершено.
1994 Горенстейн, Лайонс и Соломон начинают публикацию пересмотренной классификации
2004 Ашбахер и Смит публикуют работу о квазитонких группах[en] (которые являются, главным образом, группами лиева типа ранга, не превосходящего 2, над полями с чётной характеристикой), заполняя последний пробел в классификации, известный на то время.
2008 Харада и Соломон заполняют небольшой пробел в классификации описанием групп со стандартной компонентой, которая покрывает группу Матьё M22[en]. Этот случай был случайно пропущен в доказательстве классификации ввиду ошибки при вычислении мультипликатора Шура[en] для M22.
2012 Джорджс Гонтир[en] с соавторами объявил о проверенной на компьютере версии теоремы Томпсона — Фейта[en], для чего была использована программа автоматического доказательства[en] системы Coq[7].

Классификация второго поколения[править | править код]

Доказательство теоремы на момент примерно 1985 года можно назвать первым поколением. Ввиду крайне большой длины доказательства первого поколения была проделана большая работа по поиску более простого доказательства, названного доказательством классификации второго поколения. Эти попытки, названные «ревизионизмом», первоначально предпринимал Дэниел Горенстейн[en].

К 2018 году опубликовано семь томов доказательства второго поколения[8][9][10][11][12][13][14], а для большинства из оставшихся томов готовы предварительные варианты[15]. В 2012-м году (когда было готово шесть томов) Соломон высказал предположение, что проект потребует выпуска ещё 5 томов, но сказал, что работа в этом направлении идёт медленно. Он оценил объём полного нового доказательства примерно в 5000 страниц (такая длина вызвана отчасти тем, что второе поколение доказательства написано в более непринуждённом стиле).

Ашбахер и Смит написали свой двухтомник The classification of quasithin groups, посвящённый квазитонкому случаю, таким образом, что его можно использовать как часть доказательства второго поколения.

Горенстейн с сотрудниками указали причины, по которым более простое доказательство возможно.

  • Наиболее важно, что правильное финальное утверждение теоремы было неизвестно. Теперь же могут быть использованы более простые методы, подходящие для известных типов простых конечных групп. Напротив, авторы, работавшие с первым поколением доказательства, не знали, сколько существует спорадических групп, и, фактически, некоторые спорадические группы (такие как группы Янко) были обнаружены во время доказательства других случаев теоремы классификации. В результате многие части теоремы доказывались с использованием слишком общих методов.
  • Поскольку окончательное утверждение было неизвестно, первое поколение доказательства состоит из большого числа самостоятельных теорем, имеющих дело с важными особыми случаями. Большая часть работы по доказательству этих теорем посвящена анализу многочисленных особых случаев. В большом, упорядоченном доказательстве работа с многими из этих особых случаев может быть отложена, пока не появится возможность применения более сильных предположений. Цена этой стратегии — некоторые теоремы первого поколения не имеют тогда сравнительно коротких доказательств, а опираются на полную классификацию.
  • Многие теоремы первого поколения перекрывают друг друга и тем самым разбивают классификацию на возможные случаи неэффективно. В результате семейства и подсемейства конечных простых групп были идентифицированы неоднократно. Пересмотренное доказательство исключает эти повторения путём разбиения на другие случаи.
  • Теоретики конечных групп получили большой опыт в такого рода упражнениях и имеют возможность использовать новые методы.

Ашбахер[1] назвал работу над задачей классификации, проведённую Ульрихом Майрфранкенфельдом, Берндом Штеллмахером, Гернотом Стротом и несколькими другими третьим поколением программы. Одна из целей этой работы — рассматривать все группы в характеристике 2 однообразно с помощью метода соединения.

Почему доказательство так длинно?[править | править код]

Горенстейн обсуждал несколько причин, по которым может не существовать более короткого доказательства, наподобие классификации компактных групп Ли[en].

  • Наиболее очевидная причина — список простых групп достаточно сложен — вместе с 26 спорадическими группами имеется много особых случаев, которые необходимо рассмотреть в любом доказательстве. До сих пор не найдено ясное единообразное описание конечных простых групп, подобное параметризации компактных групп Ли с помощью диаграмм Дынкина.
  • Атья и другие высказали предположение, что классификация могла бы быть упрощена путём построения некоторого геометрического объекта, на котором группы действуют, а затем классифицировать геометрические структуры этого объекта. Проблема здесь в том, что никто не смог предложить простого пути нахождения такой геометрической структуры, ассоциированной с простой группой. В некотором смысле классификация работает путём нахождения геометрических структур, таких как пары (B, N), но они появляются в самом конце очень длинного и трудного анализа структуры конечной простой группы.
  • Другое предложение по упрощению доказательства заключается в большем использовании теории представлений. Проблема здесь в том, что теория представлений, по-видимому, требует очень тесного контроля над подгруппами группы, чтобы работать хорошо. Для групп малого ранга такой контроль имеется и теория представлений работает хорошо, но для групп большего ранга никто не добился успеха в использовании теории представлений для упрощения классификации. В начале попыток классификации прилагались большие усилия для использования теории представлений, но это не принесло больших успехов для случаев больших рангов.

Следствия классификации[править | править код]

В этом разделе перечислены некоторые результаты, которые доказаны с помощью теоремы классификации конечных простых групп.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]