Класс Штифеля — Уитни

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению . Обычно обозначается через . Принимает значения в , кольце когомологий с коэффициентами в .

Компонента в -х когомологиях обозначается и называется -м классом Штифеля — Уитни расслоения , так что

Классы являются препятствиями в к построению -го линейно независимого сечения , ограниченного на остов .

Аксиоматическое определение[править | править вики-текст]

Здесь и далее, обозначает сингулярные когомологии пространства с коэффициентами в группе .

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению элемент кольца гомологий так, что выполняются следующие аксиомы:

  1. Естественность: для любого расслоения и отображения , где обозначает соответствующее индуцированное расслоение над .
  2. в .
  3. является образующей (условие нормализации). Здесь  — это тавтологическое расслоение.
  4. (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства )[1]

Исходное построение[править | править вики-текст]

Классы Штифеля — Уитни были предложены Э. Штифелем (англ.) и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению -го линейно независимого сечения , ограниченного на -й остов . (Здесь  — размерность слоя расслоения ).

Более точно, если является CW-комплексом, Уитни определил классы в -й группе клеточных когомологий с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся гомотопическая группа многообразия Штифеля наборов из линейно независимого вектора в слое . Уитни доказал, что для построенных им классов тогда и только тогда, когда расслоение , ограниченное на -скелет , имеет линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна , существует каноническая редукция классов к классам , которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если , то эти классы просто совпадают.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Если мы работаем на многообразии размерности , то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени может быть спарено с -фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент ; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие , и . В общем случае, если многообразие -мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям в сумму целых слагаемых.
    • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
  • Естественному отображению приведения по модулю два, , соответствует гомоморфизм Бокштейна
Образ класса под его действием, , называется целым классом Штифеля — Уитни.
  • В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению -структуры.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если расслоение имеет сечений, линейно независимых над каждой точкой, то .
  • при .
  • Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда .
  • Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
  • Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает -структуру.
  • Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

Литература[править | править вики-текст]

  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
  • Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
  • Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. см. разделы 3.5 и 3.6 книги Хьюзмоллера или раздел 8 в Милноре — Сташеве.