Коалгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обеих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, универсальных обёртывающих алгебрах и групповых схемах[en]). Существует также F-коалгебра[en], имеющая важные приложения в информатике.

Определение[править | править исходный текст]

Коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K-линейнымми отображениями \Delta : C \to C \otimes_K C и \epsilon : C \to K, такими что

  1. (\mathrm{id}_C \otimes \Delta) \circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta
  2. (\mathrm{id}_C \otimes \epsilon) \circ \Delta = \mathrm{id}_C = (\epsilon \otimes \mathrm{id}_C) \circ \Delta.

(Здесь \otimes и \otimes_K означает тензорное произведение над K.)

Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют:

Coalg.png

На первой диаграмме мы отождествляем C\otimes (C\otimes C) с (C \otimes C)\otimes C как два естественно изоморфных пространства.[1] Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства C , C\otimes K и K\otimes C.[2]

Первая диаграмма двойственноа диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением) в C, а ε является коединицей C.

Пример[править | править исходный текст]

Рассмотрим множество S и образуем векторное пространство над K с базисом S. Элементами этого векторного пространства являются такие функции из S в K которые отображают все элементы S, кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент s из S с функцией которая отображает s в 1 и все остальные элементы S в 0. Мы будем обозначать это пространство как C. Мы определим

\Delta(s) = s\otimes s \quad \mbox{ and } \quad \epsilon(s)=1 \quad \forall s\in S.

Δ и ε могут быть единственным образом продолжены на всё C по линейности. Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и коединицей ε (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).

Конечномерный случай[править | править исходный текст]

В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.

Это следует из того, что, для конечномерных пространств, (AA)* и A* ⊗ A* изоморфны.

Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами.

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Yokonuma (1992), p. 12, Prop. 1.7.
  2. Yokonuma (1992), p. 10, Prop. 1.4.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), «Hopf Algebras», vol. 235 (1st ed.), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
  • Yokonuma, Takeo (1992), «Tensor spaces and exterior algebra», vol. 108, Translations of mathematical monographs, AMS Bookstore, ISBN 9780821845646 .
  • Bourbaki Nicolas Algebra. — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-19373-1. Chapter III, section 11.

Ссылки[править | править исходный текст]