Коалгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коалгебра — математическая структура, которая двойственна (в смысле обращения стрелок) к ассоциативной алгебре с единицей. Аксиомы унитарной ассоциативной алгебры могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм. Аксиомы коалгебры получаются путём обращения стрелок. Каждая коалгебра c дуальностью (векторного пространства) порождает алгебру, но не наоборот. В конечномерном случае дуальность есть в обеих направлениях. Коалгебры встречаются в разных случаях (например, универсальных обёртывающих алгебрах и групповых схемах[en]). Существует также F-коалгебра[en], имеющая важные приложения в информатике.

Определение[править | править вики-текст]

Коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K-линейными отображениями и , такими что

  1. .

(Здесь и означает тензорное произведение над K.)

Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют:

Coalg.png

На первой диаграмме мы отождествляем с как два естественно изоморфных пространства.[1] Аналогично, на второй диаграмме отождествлены естественно изоморфные пространства , и .[2]

Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность операции умножения алгебры (и называется коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного нейтрального элемента. Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением) в C, а ε является коединицей C.

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим множество S и образуем векторное пространство над K с базисом S. Элементами этого векторного пространства являются такие функции из S в K которые отображают все элементы S, кроме конечного числа, в ноль; мы отождествим элемент s из S с функцией которая отображает s в 1 и все остальные элементы S в 0. Мы будем обозначать это пространство как C. Мы определим

Δ и ε могут быть единственным образом продолжены на всё C по линейности. Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением Δ и коединицей ε (проверка этого является хорошим способом, чтобы привыкнуть к использованию аксиом коалгебры).

Конечномерный случай[править | править вики-текст]

В конечномерном случае, двойственность между алгеброй и коалгеброй ближе: объект, двойственный к конечномерной (унитарной ассоциативной) алгебре есть коалгебра, а двойственный к конечномерной коалгебре есть (унитарная ассоциативная) алгебра. Вообще говоря, объект, двойственный к алгебре, может не быть коалгеброй.

Это следует из того, что, для конечномерных пространств, (AA)* и A* ⊗ A* изоморфны.

Ещё раз: алгебра и коалгебра — двойственные понятия (аксиомы, определяющие одну, получаются из аксиом другой обращением стрелок), тогда как для конечномерных пространств они являются ещё и двойственными объектами.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Yokonuma (1992), p. 12, Prop. 1.7.
  2. Yokonuma (1992), p. 10, Prop. 1.4.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras, vol. 235 (1st ed.), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
  • Yokonuma, Takeo (1992), Tensor spaces and exterior algebra, vol. 108, Translations of mathematical monographs, AMS Bookstore, ISBN 9780821845646 .
  • Bourbaki Nicolas. Algebra. — Springer-Verlag, 1989. — ISBN 0-387-19373-1.. Chapter III, section 11.

Ссылки[править | править вики-текст]