Ковёр Серпинского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Ковёр (квадрат) Серпинского

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским.

Построение[править | править вики-текст]

Итеративный метод[править | править вики-текст]

Квадрат делится прямыми, параллельными его сторонам, на 9 равных квадратов. Из квадрата удаляется центральный квадрат. Получается множество, состоящее из 8 оставшихся квадратов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из квадратов первого ранга, получим множество , состоящее из 64 квадратов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

пересечение членов которой есть ковер Серпинского.


Метод хаоса[править | править вики-текст]

  1. Задаются координаты 8 точек-аттракторов. Ими являются вершины и середины сторон исходного квадрата .
  2. Вероятностное пространство разбивается на 8 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
  3. Задаётся некоторая начальная точка , лежащая внутри квадрата .
  4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству ковра Серпинского.
    1. Генерируется случайное число .
    2. Активным аттрактором становится та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
    3. Строится точка с новыми координатами: , где:  — координаты предыдущей точки ;  — координаты активной точки-аттрактора.
  5. Возврат к началу цикла.

Таким образом, ковёр Серпинского представляет собой частный случай многоугольного множества Серпинского. Он состоит из 8 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.

Свойства[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]