Колебательный контур

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Колебательный контур — электрическая цепь, содержащая катушку индуктивности, конденсатор и источник электрической энергии. При последовательном соединении элементов цепи колебательный контур называется последовательным, при параллельном − параллельным.[1]

Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Резонансная частота контура определяется так называемой формулой Томсона:

Принцип действия[править | править вики-текст]

Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения . Энергия, запасённая в конденсаторе составляет

Параллельный колебательный контур
Осциллограмма LC контура во время замыкания заряженного конденсатора на катушку индуктивности.
С - 240нФ(заряженный)
L - 360нГн
F0 ≈ 542кГц

При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток , что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора . Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна

, где  — индуктивность катушки,  — максимальное значение тока.

После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения .

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

В общем, описанные выше процессы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличие от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

Стоит заметить, что помимо простого колебательного контура, есть ещё колебательные контуры первого, второго и третьего рода, что учитывают потери и имеют другие особенности.

Математическое описание процессов[править | править вики-текст]

Напряжение на идеальной катушке индуктивности при изменении протекающего тока:

Ток, протекающий через идеальный конденсатор, при изменении напряжения на нём:

Из правил Кирхгофа, для цепи, составленной из параллельно соединённых конденсатора и катушки следует:

, — для напряжений,

и

 — для токов.

Совместно решая систему дифференциальных уравнений (дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое), получаем:

Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой собственных колебаний (она называется собственной частотой гармонического осциллятора).

Решением этого уравнения 2-го порядка является выражение, зависящее от 2 начальных условий:

где  — некая постоянная, определяемая начальными условиями, называемая амплитудой колебаний,  — также некоторая постоянная, зависящая от начальных условий, называемая начальной фазой.

Например, при начальных условиях и амплитуде начального тока решение сведётся к:

Решение может быть записано также в виде

где и  — некоторые константы, которые связаны с амплитудой и фазой следующими тригонометрическими соотношениями:

,
.

Комплексное сопротивление (импеданс) колебательного контура[править | править вики-текст]

Колебательный контур может быть рассмотрен как двухполюсник, представляющий собой параллельное включение конденсатора и катушки индуктивности. Комплексное сопротивление такого двухполюсника можно записать как

где i — мнимая единица.

Для такого двухполюсника может быть определена т. н. характеристическая частота (или резонансная частота), когда импеданс колебательного контура стремится к бесконечности (знаменатель дроби стремится к нулю).

Эта частота равна

и совпадает по значению с собственной частотой колебательного контура.

Из этого уравнения следует, что на одной и той же частоте может работать множество контуров с разными величинами L и C, но с одинаковым произведением LC. Однако выбор соотношения между L и C зачастую не бывает полностью произвольным, так как обуславливается требуемым значением добротности контура.

Для последовательного контура добротность растёт с увеличением L:

, где R — активное сопротивление контура.

Для параллельного контура:

,

где ,

( — сумма активных сопротивлений в цепи катушки и цепи конденсатора[2]).

Понятие добротности связано с тем, что в реальном контуре существуют потери энергии (на излучение[3] и нагрев проводников). Обычно считают, что все потери сосредоточены в некотором эквивалентном сопротивлении , которое в последовательном контуре включено последовательно с L и C, а в параллельном - параллельно им. Малые потери (т.е. высокая добротность) означают, что в последовательном контуре мало, а в параллельном — велико. В низкочастотном последовательном контуре легко обретает физический смысл - это в основном активное сопротивление провода катушки и проводников цепи.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Попов В. П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов / В. П. Попов. - 4-е изд., испр. — М.: Высш. шк., 2003. — 575 с.
  • Скрипников Ю. Ф. Колебательный контур — М.: Энергия, 1970—128 с.: ил. — (МРБ; Вып. 739)
  • Изюмов Н. М., Линде Д. П. Основы радиотехники. - М.:Радио и связь, 1983