Колесо (алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Колесо (от англ. Wheel theory — «теория колес», иногда «ролик»[1]) — тип алгебры, где операция деления определена всегда. В частности, в них деление на ноль имеет смысл. Вещественные числа могут быть расширены до колеса, как и любое коммутативное кольцо.

Сфера Римана также может быть расширена до колеса путем присоединения элемента , где . Сфера Римана является расширением комплексной плоскости элементом , где для любых комплексных . Однако не определён в сфере Римана, но определяется в её расширении до колеса.

Термин колесо вдохновлен топологической пиктограммой , обозначающей проективную линию вместе с дополнительной точкой .[2]

Определение[править | править код]

Колесо — это алгебраическая структура (где операция / унарная), удовлетворяющая:

  • Сложение и умножение являются коммутативными и ассоциативными, а и представляют собой их нейтральные элементы.

Алгебра колес[править | править код]

Колеса заменяют традиционное деление (бинарный оператор, обратный к умножению) на унарный оператор, применяющийся к одному аргументу: «». Это похоже на определение обратного числа , но не идентично ему. В колесах становится краткой записью для и изменяет правила алгебры так, что

  • в общем случае
  • в общем случае
  • в общем случае, поскольку не совпадает с мультипликативно обратным числом для .

Если существует элемент такой, что , то становится возможным определить отрицание (противоположное число) и вычитание .

Некоторые следствия:

Тогда для при и получаем привычные

Если определить отрицание как предложено выше, то подмножество колеса является коммутативным кольцом и, более того, любое коммутативное кольцо является таким подмножеством какого-либо колеса. Если  — обратимый элемент коммутативного кольца, то . Таким образом, если имеет смысл (как обычный обратный по умножению элемент), он равен , но операция определена всегда, даже для .

Примечания[править | править код]

  1. С. Л. БЛЮМИН. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О «ЧИСЛЕ». НЕКОТОРЫЕ СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, Липецк: 2005 — стр 13-17 «„РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ“ ДО ДЕЛЕНИЯ НА НУЛЬ И ПРОБЛЕМЫ ДИСТРИБУТИВНОСТИ» (Новые технологии в образовании: Междунар. электрон. науч. конф. Сб. науч. тр. — Воронеж: ВГПУ, 2001. — С.52-54.) (рус.)
  2. Carlström, 2004.

Ссылки[править | править код]