Коллинеарность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Коллинеарные вектора»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Два коллинеарных противоположно направленных вектора

Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой[1]. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Обозначения[править | править код]

  • Коллинеарные векторы:
  • Сонаправленные векторы:
  • Противоположно направленные векторы:

Свойства коллинеарности[править | править код]

Пусть  — векторы пространства . Тогда верны следующие утверждения:

  • Отношение коллинеарности
    1. рефлексивно:
    2. симметрично:
  • Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
  • Если и , то cуществует действительное число такое, что (причем , если векторы сонаправлены, и , если они противонаправлены). Это соотношение также может служить критерием коллинеарности.
  • Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин (взятых со знаком «-», если векторы противоположно направлены)
  • Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0.
  • На плоскости 2 неколлинеарных вектора образуют базис. Это значит, что любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Обобщения[править | править код]

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой[1].

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 А.Б.Иванов. Коллинеарные векторы // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2. — 552 с. — 150 000 экз.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]