Колчан (теория графов)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике колчан — это ориентированный граф, в котором допускаются циклы и множественные стрелки между двумя вершинами, то есть мультиграф. Они обычно используются в теории представлений: представление колчана назначает векторное пространство каждой вершине колчана и линейное отображение каждой стрелке .

В теории категорий под колчаном понимают структуру, лежащую в основе категории, но без состава или обозначения морфизмов идентичности. То есть забывающий функтор от до . Его левый сопряженный является свободным функтором, который из колчана создает соответствующую свободную категорию.

Определение[править | править код]

Колчан состоит из:

  • Множество вершин графа
  • Множество ребер графа
  • Две функции: , задающие начало или источник ребра, и еще одна функция, , задающая конец ребра.

Это определение идентично определению мультиграфа.

Морфизм колчанов определяется следующим образом. Если и  — два колчана, морфизм колчанов состоит из двух функций и , так что следующие диаграммы коммутируют:

Категориально-теоретическое определение[править | править код]

Приведенное выше определение основано на теории множеств. Категориально-теоретическое определение обобщает это в функтор от свободного колчана до категории множеств.

Свободный колчан (также называемый колчаном Кронекера, колчаном 2-Кронекера или категорией Кронекера)  — это категория с двумя объектами и четырьмя морфизмами: объекты и . Четыре морфизма , и морфизмы тождества и . То есть свободный колчан

Тогда колчан является функтором .

В более общем смысле колчан в категории  — это функтор . Категория колчанов в  — это категория функторов, где:

Обратите внимание, что  — это категория предпучков в противоположной категории .

Алгебра путей[править | править код]

Если  — колчан, то путь в  — это последовательность стрел такая, что начало является концом при , по соглашению о том, что сцеплении путей происходит справа налево.

Если  — поле, то алгебра колчана или алгебра пути определяется как векторное пространство, имеющее все пути (длиной ≥ 0) в колчане в качестве базиса (включая для каждой вершины колчана тривиальный путь длиной 0; эти пути не предполагаются равными для разных ), а умножение задается путем конкатенации путей. Если два пути не могут быть объединены, потому что конечная вершина первого не равна начальной вершине второго, их произведение определяется равным нулю. Это определяет ассоциативную алгебру над . Эта алгебра имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда колчан имеет только конечное число вершин. В этом случае модули над естественно отождествляются с представлениями . Если колчан имеет бесконечно много вершин, то имеет приблизительную идентичность, заданную , где пробегает конечные подмножества множества вершин графа .

Если колчан имеет конечное число вершин и стрелок, а конечная вершина и начальная вершина любого пути всегда различны (то есть не имеет ориентированных циклов), то является конечномерной наследственной алгеброй над . Наоборот, если алгебраически замкнутый, то любая конечномерная наследственная ассоциативная алгебра над является Морито эквивалентной алгебре путей ее колчана (то есть они имеют эквивалентные модульные категории).

Представления колчанов[править | править код]

Представление колчана  — это ассоциация -модуля с каждой вершиной и морфизм между каждым модулем для каждой стрелки.

Представление колчана называется тривиальным, если для всех вершин в .

Морфизм между представлениями колчана представляет собой набор линейных отображений такой, что для каждой стрелки в от до , то есть квадраты, которые образуют формы со стрелками и , все коммутируют. Морфизм является изоморфизмом, если обратим для всех вершин колчана. Этими определениями представление колчана формирует категорию.

Если и являются представлениями колчана , то прямая сумма этих представлений, , определяется как для всех вершин в и  — прямая сумма линейных отображений и .

Представление называется разложимым, если оно изоморфно прямой сумме ненулевых представлений.

Также может быть дано категориальное определение представления колчана. Сам колчан можно считать категорией, где вершины — это объекты, а пути — морфизмы. Тогда представление является просто ковариантным функтором из этой категории в категорию конечномерных векторных пространств. Морфизмы представлений  — это естественные преобразования между соответствующими функторами.

Для конечного колчана (колчан с конечным числом вершин и ребер) пусть  — это его алгебра путей. Обозначим через тривиальный путь в вершине . Тогда мы можем связать с вершиной проективный -модуль , состоящий из линейных комбинаций путей, имеющих начальную вершину . Это соответствует представлению , полученному путем помещения копии в каждую вершину, которая лежит на пути, начинающемся в , и 0 в каждой другой вершине. Каждому ребру, соединяющему две копии , мы сопоставляем карту тождеств.

Колчан с отношениями[править | править код]

Для обеспечения коммутативности некоторых квадратов внутри колчана, пользуются обобщением понятия колчанов с отношениями (также называемых связанными колчанами). Отношение в колчане является линейной комбинацией путей из . Колчан с отношением — это пара { с колчаном и , является идеалом алгебры путей. Частное является алгеброй путей .

Многообразие колчанов[править | править код]

Учитывая размеры векторных пространств, назначенных каждой вершине, можно сформировать многообразие, которое характеризует все представления этого колчана с указанными размерами, и рассмотреть условия устойчивости. Они дают колчан разновидностей, как показано Кингом (1994).

Теорема Габриэля[править | править код]

Основная статья: Теорема Габриэля

Колчан имеет конечный тип, если он имеет только конечное число классов изоморфизмов неразложимых представлений. Габриэль (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Точнее, теорема Габриэля гласит:

  1. (Связанный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его основной граф (направления стрелок в котором игнорируются) является одной из ADE диаграмм Дынкина: .
  2. Неразложимые представления находятся в взаимно однозначном соответствии с положительными корнями системы корней диаграммы Дынкина.

Dlab & Ringel (1973) нашли обобщение теоремы Габриэля, в которой встречаются все диаграммы Дынкина конечномерных полупростых алгебр Ли.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Конспект лекций[править | править код]

Исследования[править | править код]

Ресурсы[править | править код]