Кольцо периодов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике кольцом периодов называется множество чисел, которые могут быть выражены как объём области в заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами. Классическим примером периода является общеизвестное число π, являющееся площадью единичного круга x2+y2≤1. Комплексное число называется периодом, если и действительная, и мнимая его части являются периодами. Сумма, разность и произведение двух периодов также являются периодами, поэтому множество всех периодов образует кольцо. Кольцо периодов включает в себя все алгебраические числа и многие известные трансцендентные числа, например, упомянутое π, ln(2), ζ(3) и Γ(1/3). Постоянная Хайтина Ω является примером числа, не являющегося периодом.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любой период является вычислимым (а значит, и арифметическим) числом.
  • Множество периодов (равно как и множество всех чисел, не являющихся периодами) плотно в и в
  • Кольцо периодов является счётным множеством, а его дополнение до или до несчётным.
  • Порядок на множестве действительных периодов изоморфен порядку на множестве рациональных чисел.

Открытые проблемы[править | править вики-текст]

  • Неизвестно, является ли кольцо периодов полем.
  • Неизвестно, являются ли числа e, 1/π или γ периодами.
  • Неизвестно ни одного естественного примера (т.е. не сконструированного специально для этой цели) вычислимого числа, не являющегося периодом.
  • Неизвестен алгоритм, который может определить, равны ли два периода, заданные своими системами неравенств. Также неизвестно, является ли эта задача вообще алгоритмически разрешимой.

Ссылки[править | править вики-текст]