Компактно-открытая топология

Компактно-открытая топология — естественная топология на пространстве $C(X,Y)$ — пространстве непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами $X\to Y$, предбазу которой образуют множества отображений вида

$W_{K,U}=\{f\in C(X,Y)|f(K)\subset U\},$

где $U\subset Y$ — открытое множество, а $K\subset X$ — компактное множество.

Свойства

• Если $X$ компактно, а $Y$ метрическое пространство, то сходимость последовательности функций $f_{n}$ в $C(X,Y)$ означает равномерную сходимость.
  • Более общо: если $Y$ метрическое пространство, то сходимость последовательности функций $f_{n}$ в $C(X,Y)$ означает равномерную сходимость сужений $f_{n}|K$ для любого компактного множества $K\subset X$.

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии