Компанейские числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Компанейские числа — это числа, чьи аликвотные суммы формируют циклические последовательности, которые начинаются и заканчиваются одним и тем же числом. Являются обобщением совершенных чисел и дружественных чисел. Первые две компанейские последовательности или компанейские цепи были обнаружены и названы бельгийским математиком Полом Пуле в 1918 году. В компанейской последовательности каждое число является суммой собственных делителей предыдущего числа, т.е. эта сумма исключает само предыдущее число.

Период последовательности или порядок множества компанейских чисел(также каждого числа из этого множества) - это количество чисел в этом цикле.

Если период последовательности равен 1, то число является компанейским числом порядка 1 или совершенным числом, например, собственные делители 6 равны 1, 2 и 3, их сумма равна 6. Пара дружественных чисел - это множество компанейских чисел порядка 2, состоящее, соответственно из двух элементов. Нет известных компанейских чисел порядка 3.

У всех ли чисел аликвотные последовательности рано или поздно замыкаются на компанейском числе конечного порядка, либо на попадают на простое (и, следовательно, замыкаются на 1), или, что то же самое, существуют ли числа, аликвотная последовательность которых никогда не заканчивается и, следовательно, растет неограниченно - это открытый вопрос математики.

Пример[править | править код]

Пример с периодом 4:

Сумма собственных делителей () это:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 17 + 20 + 34 + 68 + 85 + 170 + 340 + 3719 + 7438 + 14876 + 18595 + 37190 + 63223 + 74380 + 126446 + 252892 + 316115 + 632230 = 1547860
Сумма собственных делителей () это:
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 193 + 386 + 401 + 772 + 802 + 965 + 1604 + 1930 + 2005 + 3860 + 4010 + 8020 + 77393 + 154786 + 309572 + 386965 + 773930 = 1727636
Сумма собственных делителей () это:
1 + 2 + 4 + 521 + 829 + 1042 + 1658 + 2084 + 3316 + 431909 + 863818 = 1305184
Сумма собственных делителей () это:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 40787 + 81574 + 163148 + 326296 + 652592 = 1264460.
Таким образом аликвотная последовательность числа 1264460 - это 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, 1547860...

Количества известных компанейских чисел по длине цикла[править | править код]

Классификация всех известных компанейских чисел по состоянию на ноябрь 2015 года по длине соответствующей аликвотной последовательности:

Длина последовательности Количество последовательностей
1

(Совершенные числа)

49
2

(Дружественные числа)

1,007,478,796[1]
4 1581 (Июнь 2017)
5 1
6 5
8 4
9 1
28 1

Поиск компанейских чисел с помощью теории графов[править | править код]

Аликвотная последовательность может быть представлена в виде ориентированного графа , для заданного , где - сумма собственных делителей .[2] Цикл в представляет собой компанейские числа в интервале . Два особых случая - это петли, представляющие собой совершенные числа и циклы длиной два, представляющие дружественные пары.

Примечания[править | править код]

  1. Sergei Chernykh Amicable pairs list
  2. Rocha, Rodrigo Caetano & Thatte, Bhalchandra (2015), Distributed cycle detection in large-scale sparse graphs, Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional (SBPO), <http://dx.doi.org/10.13140/RG.2.1.1233.8640> 

Литература[править | править код]

  • R. K. Guy, Unsolved Problems Number Theory, B7.
  • P. Poulet, Parfaits, amiables et extensions, Editions Stevens, Bruxelles, 1918.
  • D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, pp. 174 Penguin Books 1987.

Внешние ссылки[править | править код]