Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная плоскость — это двумерное вещественное пространство $\mathbb{R}^2$, которое изоморфно полю комплексных чисел $\mathbb{C}$. Каждая точка такого пространства — это упорядоченная пара вида $(x,y)$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, и где первый элемент пары соответствует вещественной части, а второй элемент пары соответствует мнимой части комплексного числа $z=x+iy$:

$x=\mathrm{Re}\,z,$

$y=\mathrm{Im}\,z.$

Упорядоченную пару $(x,y)$ естественно интерпретировать как радиус-вектор с началом в нуле и с концом в точке $(x,y)$.

В силу изоморфизма между $\mathbb C$ и $\mathbb{R}^2$, алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им радиус-векторами:

• сложение комплексных чисел — это сложение соответствующих радиус-векторов;
• умножение комплексных чисел — это преобразование радиус-вектора, связанное с его поворотом и растяжением.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная комплексной сфере. Комплексная плоскость связана с комплексной сферой, например, стереографической проекцией.

Комплекснозначные функции комплексного переменного обычно интерпретируются как отображения комплексных плоскости или сферы в себя. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.

Рассматривая на комплексной плоскости топологию $\mathbb{R}^2$, можно вводить понятия открытых или замкнутых множеств, давать определения таким объектам, как кривые и формулировать такие свойства комплексных функций, как непрерывность, дифференцируемость и аналитичность, а комплексное представление позволяет компактно описывать эти свойства на языке соотношений между вещественными и мнимыми частями, а также между модулями и аргументами соответствующих комплексных чисел.

Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью ${\mathcal U}_{z_0}$ точки $z_0\in\mathbb C$ называется множество вида ${\mathcal U}_{z_0}=\{z\colon|z-z_0|<r\},\,r>0$. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности $\dot{\mathcal U}_{z_0}={\mathcal U}_{z_0}\setminus\{z_0\}$.

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на $\mathbb C$ полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка $z_0\in\mathbb C$ будет предельной для множества $G\subset\mathbb C$, если для произвольной окрестности ${\mathcal U}_{z_0}$ пересечение ${\mathcal U}_{z_0}\cap G$ будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается $G'$.

Множество $G\subset\mathbb C$ будет называться замкнутым, если для него справедливо включение $G'\subset G$. Ясно видно, что для произвольного множества $G$ множество $\overline{G}=G\cup G'$ будет замкнуто; оно называется замыканием множества $G$.

Граница

Точка $z_0\in\mathbb C$ будет называться граничной для множества $G\subset\mathbb C$, если для произвольной окрестности ${\mathcal U}_{z_0}$ пересечения ${\mathcal U}_{z_0}\cap G$ и ${\mathcal U}_{z_0}\cap({\mathbb C}\setminus G)$ будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством $\partial G$ или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество $E\subset\mathbb C$ будет называться всюду плотным в ином множестве $G\subset\mathbb C$, если для произвольной точки $z_0\in G$ и любой окрестности ${\mathcal U}_{z_0}$ пересечение ${\mathcal U}_{z_0}\cap E$ непусто.

Связность

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой $z_0$ и некоторым множеством $G\subset\mathbb C$ как величину $\mathrm{dist}\,(z_0,G)=\inf_{z\in G}|z-z_0|$.

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в $\mathbb C$: $\mathrm{dist}\,(G_1,G_2)=\inf_{z\in G_1}\mathrm{dist}\,(z,G_2)=\inf_{z\in G_2}\mathrm{dist}\,(z,G_1)$.

Связность

Множество $G\subset\mathbb C$ называется связным, если для него выполнено соотношение $\inf_{z_1,z_2\in G}|z_1-z_2|=0$. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество $G$ можно представить в виде объединения (конечного или счетного) $\sum G_n$, где $G_n$ — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества $G$. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звездные и линейно связные множества

Множество $G\subset\mathbb C$ называется звездным относительно точки $z_0\in G$, если для произвольной точки $z\in G$ выполняется включение $\overline{z_0z}\subset G$.

Множество $G\subset\mathbb C$ называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество $G^*$ называется выпуклой оболочкой множества $G$, если оно выпукло, $G\subset G^*$ и для любого выпуклого множества $G^{**}$, содержащего множество $G$ выполняется включение $G^*\subset G^{**}$.

Ломаной $\Gamma$ называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество $G$ называется линейно связным, если для двух произвольных точек $z_1,z_2\in G$ существует ломаная $\Gamma\subset G$ такая, что выполняется $z_1,z_2\in\Gamma$.

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.

Кривые на $\mathbb C$

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости $\mathbb C$ называется отображение вида $\varphi(t)\colon[0;1]\to\mathbb C$. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции $\varphi(t)$, но и её направление. Для примера, функции $\varphi(t)$ и $\eta(t)=\varphi(1-t)$ будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые $\varphi_0(t)\colon[0;1]\to\mathbb C$ и $\varphi_1(t)\colon[0;1]\to\mathbb C$ называются гомотопными, если существует кривая $\xi(t,q)\colon[0;1]\times[0;1]\to\mathbb C$, зависящая от параметра $q$ таким образом, что $\xi(t,0)\equiv\varphi_0$ и $\xi(t,1)\equiv\varphi_1$.

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость, дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой $(z=\infty)$:

$\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}$

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

• $\frac{z}{\infty}=0; \ \ z+\infty=\infty \ (z \ne \infty)$
• $z \cdot \infty=\infty; \ \ \frac{z}{0}=\infty \ (z \ne 0)$

$\varepsilon$-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек $z$, модуль которых больше, чем $\varepsilon$, то есть внешняя часть $\varepsilon$-окрестностей начала координат.

См. также

• Словарь терминов общей топологии

Литература

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.. — М.: Наука, 1967. — 304 с.