Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная плоскость — это двумерное вещественное пространство ${\mathbb {R}}^{2}$, которое изоморфно полю комплексных чисел ${\mathbb {C}}$. Каждая точка такого пространства — это упорядоченная пара вида $(x,y)$, где $x$ и $y$ — вещественные числа, и где первый элемент пары соответствует вещественной части, а второй элемент пары соответствует мнимой части комплексного числа $z=x+iy$:

$x={\mathrm {Re}}\,z,$

$y={\mathrm {Im}}\,z.$

Упорядоченную пару $(x,y)$ естественно интерпретировать как радиус-вектор с началом в нуле и с концом в точке $(x,y)$.

В силу изоморфизма между ${\mathbb C}$ и ${\mathbb {R}}^{2}$, алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им радиус-векторами:

• сложение комплексных чисел — это сложение соответствующих радиус-векторов;
• умножение комплексных чисел — это преобразование радиус-вектора, связанное с его поворотом и растяжением.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная комплексной сфере. Комплексная плоскость связана с комплексной сферой, например, стереографической проекцией.

Комплекснозначные функции комплексного переменного обычно интерпретируются как отображения комплексных плоскости или сферы в себя. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.

Рассматривая на комплексной плоскости топологию ${\mathbb {R}}^{2}$, можно вводить понятия открытых, замкнутых множеств, и давать определения таким объектам как кривые и формулировать такие свойства комплексных функций как непрерывность, дифференцируемость и аналитичность, а комплексное представление позволяет компактно описывать эти свойства на языке соотношений между вещественными и мнимыми частями, а также, между модулями и аргументами соответствующих комплексных чисел.

Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ точки $z_{0}\in {\mathbb C}$ называется множество вида ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности ${\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}={{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\setminus \{z_{0}\}$.

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на ${\mathbb C}$ полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка $z_{0}\in {\mathbb C}$ будет предельной для множества $G\subset {\mathbb C}$, если для произвольной окрестности ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ пересечение ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается $G'$.

Множество $G\subset {\mathbb C}$ будет называться замкнутым, если для него справедливо включение $G'\subset G$. Ясно видно, что для произвольного множества $G$ множество $\overline {G}=G\cup G'$ будет замкнуто; оно называется замыканием множества $G$.

Граница

Точка $z_{0}\in {\mathbb C}$ будет называться граничной для множества $G\subset {\mathbb C}$, если для произвольной окрестности ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ пересечения ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap G$ и ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap ({{\mathbb C}}\setminus G)$ будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством $\partial G$ или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество $E\subset {\mathbb C}$ будет называться всюду плотным в ином множестве $G\subset {\mathbb C}$, если для произвольной точки $z_{0}\in G$ и любой окрестности ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}$ пересечение ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap E$ непусто.

Связность

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой $z_{0}$ и некоторым множеством $G\subset {\mathbb C}$ как величину ${\mathrm {dist}}\,(z_{0},G)=\inf _{{z\in G}}|z-z_{0}|$.

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в ${\mathbb C}$: ${\mathrm {dist}}\,(G_{1},G_{2})=\inf _{{z\in G_{1}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{2})=\inf _{{z\in G_{2}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{1})$.

Связность

Множество $G\subset {\mathbb C}$ называется связным, если для него выполнено соотношение $\inf _{{z_{1},z_{2}\in G}}|z_{1}-z_{2}|=0$. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество $G$ можно представить в виде объединения (конечного или счетного) $\sum G_{n}$, где $G_{n}$ — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества $G$. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звездные и линейно связные множества

Множество $G\subset {\mathbb C}$ называется звездным относительно точки $z_{0}\in G$, если для произвольной точки $z\in G$ выполняется включение $\overline {z_{0}z}\subset G$.

Множество $G\subset {\mathbb C}$ называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество $G^{*}$ называется выпуклой оболочкой множества $G$, если оно выпукло, $G\subset G^{*}$ и для любого выпуклого множества $G^{{**}}$, содержащего множество $G$ выполняется включение $G^{*}\subset G^{{**}}$.

Ломаной $\Gamma$ называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество $G$ называется линейно связным, если для двух произвольных точек $z_{1},z_{2}\in G$ существует ломаная $\Gamma \subset G$ такая, что выполняется $z_{1},z_{2}\in \Gamma$.

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.

Кривые на ${\mathbb C}$

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости ${\mathbb C}$ называется отображение вида $\varphi (t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции $\varphi (t)$, но и её направление. Для примера, функции $\varphi (t)$ и $\eta (t)=\varphi (1-t)$ будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые $\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ и $\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ называются гомотопными, если существует кривая $\xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to {\mathbb C}$, зависящая от параметра $q$ таким образом, что $\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$ и $\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$.

Бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость, дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой: $z=\infty$. При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

• ${\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )$
• $z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)$

$\varepsilon$-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек $z$, модуль которых больше, чем $\varepsilon$, то есть внешняя часть $\varepsilon$-окрестностей начала координат.

См. также

• Словарь терминов общей топологии

Литература

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.