Комплексная плоскость

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ко́мпле́ксная[1] плоскость — это геометрическое представление множества комплексных чисел .

Точка двумерной вещественной плоскости , имеющая координаты , изображает комплексное число , где

 — вещественная часть комплексного числа,
 — его мнимая часть.

Или же можно сказать, что комплексному числу соответствует радиус-вектор с координатами Алгебраические операции над комплексными числами переносятся на операции над соответствующими им точками или векторами. Различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

  • сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;
  • умножению на комплексное число соответствует поворот и растяжение радиус-вектора;
  • корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя.

Результатом компактификации комплексной плоскости является расширенная комплексная плоскость, называемая также сферой Римана — комплексная плоскость, дополненная бесконечно удалённой точкой, изоморфная обычной сфере (изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.[уточнить]

Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости[править | править вики-текст]

Открытые множества[править | править вики-текст]

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью точки называется множество вида . Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности .

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую его окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество[править | править вики-текст]

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка будет предельной для множества , если для произвольной окрестности пересечение будет непусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается .

Множество будет называться замкнутым, если для него справедливо включение . Ясно видно, что для произвольного множества множество будет замкнуто; оно называется замыканием множества .

Граница[править | править вики-текст]

Точка будет называться граничной для множества , если для произвольной окрестности пересечения и будут непусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством или просто границей.

Всюду плотные множества[править | править вики-текст]

Множество будет называться всюду плотным в ином множестве , если для произвольной точки и любой окрестности пересечение непусто.

Связность[править | править вики-текст]

Расстояние между множествами[править | править вики-текст]

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой и некоторым множеством как величину .

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в : .

Связность[править | править вики-текст]

Множество называется связным, если для него выполнено соотношение . Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество можно представить в виде объединения (конечного или счетного) , где  — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества . Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звездные и линейно связные множества[править | править вики-текст]

Множество называется звездным относительно точки , если для произвольной точки выполняется включение .

Множество называется выпуклым, если оно звездно относительно любой своей точки. Множество называется выпуклой оболочкой множества , если оно выпукло, и для любого выпуклого множества , содержащего множество выполняется включение .

Ломаной называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество называется линейно связным, если для двух произвольных точек существует ломаная такая, что выполняется .

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звездные множества.

Кривые на [править | править вики-текст]

Кривые и пути[править | править вики-текст]

Кривой или путём на комплексной плоскости называется отображение вида . Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции , но и её направление. Для примера, функции и будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых[править | править вики-текст]

Кривые и называются гомотопными, если существует кривая , зависящая от параметра таким образом, что и .

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка[править | править вики-текст]

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой :

Геометрически точка изображается точкой сферы Римана (её «северный полюс»).

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место[2]:

-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек , модуль которых больше, чем , то есть внешняя часть -окрестностей начала координат.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
  2. 1 2 Свешников А. Г., Тихонов А. Н., 1967, с. 20—21.

Литература[править | править вики-текст]