Комплексная плоскость

Ко́мпле́ксная плоскость — это геометрическое представление множества комплексных чисел $\mathbb {C}$.

Геометрическое представление комплексного числа

Точка двумерной вещественной плоскости $\mathbb {R} ^{2}$, имеющая координаты $(x,y)$, изображает комплексное число $z=x+iy$, где:

$x=\mathrm {Re} \,z$ — вещественная часть комплексного числа,

$y=\mathrm {Im} \,z$ — его мнимая часть.

Другими словами, комплексному числу $z=x+iy$ соответствует радиус-вектор с координатами $(x,y).$ Алгебраическим операциям над комплексными числами соответствуют операции над соответствующими им точками или векторами. Тем самым различные соотношения между комплексными числами получают наглядное изображение на комплексной плоскости:

• сложению комплексных чисел соответствует сложение радиус-векторов;
• умножению на комплексное число $re^{i\varphi }$ соответствует поворот радиус-вектора на угол $\varphi$ и растяжение радиус-вектора в $r$ раз;
• корни n-й степени из числа располагаются в вершинах правильного n-угольника с центром в начале координат.

Комплекснозначные функции комплексного переменного интерпретируются как отображения комплексной плоскости в себя. Особую роль в комплексном анализе играют конформные отображения.

Множества на комплексной плоскости

Открытые множества

Фундаментальное понятие окрестности вводится на комплексной плоскости очень просто — окрестностью ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ точки $z_{0}\in \mathbb {C}$ называется множество вида ${\mathcal {U}}_{z_{0}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$. Геометрически на комплексной плоскости окрестности имеют очень простой вид — это просто окружности с центром в определенных точках комплексной плоскости. Иногда для удобства требуется рассматривать проколотые окрестности ${\dot {\mathcal {U}}}_{z_{0}}={\mathcal {U}}_{z_{0}}\setminus \{z_{0}\}$.

Теперь определим открытое множество — согласно одному из вариантов классического определения из общей топологии, открытым множество будет, если оно для любой своей точки содержит некоторую её окрестность. Определение окрестности у нас уже есть, соответственно, открытое множество на $\mathbb {C}$ полностью определено.

Предельная точка и замкнутое множество

Определить предельную точку тоже будет нетрудно — точка $z_{0}\in \mathbb {C}$ будет предельной для множества $G\subset \mathbb {C}$, если для произвольной окрестности ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ пересечение ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G$ будет не пусто. Другими словами, точка является предельной, если в произвольной «близости» к ней всегда можно будет найти точки множества. Множество предельных точек иногда называется производным и обозначается $G'$.

Множество $G\subset \mathbb {C}$ будет называться замкнутым, если для него справедливо включение $G'\subset G$. Ясно видно, что для произвольного множества $G$ множество ${\overline {G}}=G\cup G'$ будет замкнуто; оно называется замыканием множества $G$.

Граница

Точка $z_{0}\in \mathbb {C}$ будет называться граничной для множества $G\subset \mathbb {C}$, если для произвольной окрестности ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ пересечения ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap G$ и ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap ({\mathbb {C} }\setminus G)$ будут не пусты. Множество всех граничных точек называется граничным множеством $\partial G$ или просто границей.

Всюду плотные множества

Множество $E\subset \mathbb {C}$ будет называться всюду плотным в ином множестве $G\subset \mathbb {C}$, если для произвольной точки $z_{0}\in G$ и любой окрестности ${\mathcal {U}}_{z_{0}}$ пересечение ${\mathcal {U}}_{z_{0}}\cap E$ не пусто.

Связность

Расстояние между множествами

Как известно из элементарной математики, на комплексной плоскости расстояние между двумя точками равно модулю их разности. Теперь определим расстояние между точкой $z_{0}$ и некоторым множеством $G\subset \mathbb {C}$ как величину $\mathrm {dist} \,(z_{0},G)=\inf _{z\in G}|z-z_{0}|$.

На базе этого понятия уже можно определить расстояние между двумя произвольными множествами в $\mathbb {C}$: $\mathrm {dist} \,(G_{1},G_{2})=\inf _{z\in G_{1}}\mathrm {dist} \,(z,G_{2})=\inf _{z\in G_{2}}\mathrm {dist} \,(z,G_{1})$.

Связность

Множество $G\subset \mathbb {C}$ называется связным, если для него выполнено соотношение $\inf _{z_{1},z_{2}\in G}|z_{1}-z_{2}|=0$. Если данная величина не равна нулю, то множество называется несвязным. Можно показать, что несвязное множество $G$ можно представить в виде объединения (конечного или счетного) $\sum G_{n}$, где $G_{n}$ — непересекающиеся связные множества, называемые связными компонентами множества $G$. Мощность множества связных компонент называется порядком связности.

Выпуклые, звёздные и линейно связные множества

Множество $G\subset \mathbb {C}$ называется звёздным относительно точки $z_{0}\in G$, если для произвольной точки $z\in G$ выполняется включение ${\overline {z_{0}z}}\subset G$.

Множество $G\subset \mathbb {C}$ называется выпуклым, если оно звёздно относительно любой своей точки. Множество $G^{*}$ называется выпуклой оболочкой множества $G$, если оно выпукло, $G\subset G^{*}$ и для любого выпуклого множества $G^{**}$, содержащего множество $G$ выполняется включение $G^{*}\subset G^{**}$.

Ломаной $\Gamma$ называется множество точек комплексной плоскости, представимое в виде объединения отрезков. Множество $G$ называется линейно связным, если для двух произвольных точек $z_{1},z_{2}\in G$ существует ломаная $\Gamma \subset G$ такая, что выполняется $z_{1},z_{2}\in \Gamma$.

Можно доказать, что любое линейно связное множество будет связным. Отсюда немедленно следует, что связны все выпуклые и звёздные множества.

Кривые на $\mathbb {C}$

Кривые и пути

Кривой или путём на комплексной плоскости $\mathbb {C}$ называется отображение вида $\varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C}$. Особо стоит отметить, что при таком определении можно конкретизировать не только вид кривой, который будет зависеть от аналитических свойств функции $\varphi (t)$, но и её направление. Для примера, функции $\varphi (t)$ и $\eta (t)=\varphi (1-t)$ будут определять одинаковую по виду кривую, но проходимую в противоположных направлениях.

Гомотопия кривых

Кривые $\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C}$ и $\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C}$ называются гомотопными, если существует кривая $\xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb {C}$, зависящая от параметра $q$ таким образом, что $\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$ и $\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Исследование плоских фигур нередко облегчается, если перенести их на комплексную плоскость. Многие теоремы планиметрии допускают наглядную и компактную запись с помощью комплексных чисел, например:

• Три (различные) точки $z_{1},z_{2},z_{3}$ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}$ является вещественным числом.

• Четыре (различные) точки $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}$ лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение ${\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}-z_{4}}}$ является вещественным числом.

• Если даны три вершины параллелограмма: $z_{1},z_{2},z_{3},$ то четвёртая определяется равенством: $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

Параметрическое уравнение прямой на комплексной плоскости имеет вид:

$z=ut+v,$ где $u,v$ — комплексные числа, $u\neq 0,t$ — произвольный вещественный параметр.

Угол между двумя прямыми $z=ut+v$ и $z=u't+v'$ равен $\operatorname {arg} (u'/u).$ В частности, прямые перпендикулярны, когда $u'/u$ — чисто мнимое число. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда $u'/u$ есть вещественное число; если при этом $(v'-v)/u$ также вещественно, то обе прямые совпадают. Каждая прямая $z=ut+v$ рассекает комплексную плоскость на две полуплоскости: на одной из них выражение $t=\operatorname {Im} {\frac {z-v}{u}}$ положительно, на другой — отрицательно.

Уравнение окружности с центром $c$ и радиусом $r$ имеет чрезвычайно простой вид: $|z-c|=r.$ Неравенство $|z-c|<r$ описывает внутренность окружности. Часто удобна параметрическая форма уравнения окружности: $z=c+e^{i\varphi }.$

Расширенная комплексная плоскость и бесконечно удалённая точка

В комплексном анализе часто полезно рассматривать расширенную комплексную плоскость, дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой $(z=\infty )$:

${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$

Геометрически точка $\infty$ изображается точкой сферы Римана (её «северный полюс»).

При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

• ${\frac {z}{\infty }}=0;\ \ z+\infty =\infty \ (z\neq \infty )$
• $z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)$

$\varepsilon$-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек $z$, модуль которых больше, чем $1 \over \varepsilon$, то есть внешняя часть $1 \over \varepsilon$-окрестностей начала координат.

Расширенная комплексная плоскость называется также сферой Римана, так как она изоморфна обычной сфере $S^{2}$ (изоморфизм можно установить, например, при помощи стереографической проекции). Комплекснозначные функции в некоторых случаях могут быть продолжены на сферу Римана. Поскольку прямые на плоскости (при стереографической проекции) переходят в окружности на сфере, содержащие бесконечно удалённую точку, комплексные функции удобнее рассматривать на сфере.^{[уточнить]}

Литература

• Арнольд В. И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
• Понтрягин Л. Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 13-е изд.. — М.: Физматлит, 1984. — 432 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной.. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
• Соломенцев Е. Д. Функции комплексного переменногои их применения. — М.: Высшая школа, 1988. — 167 с. — ISBN 5-06-003145-6.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ: учебник для студентов механико-математических специальностей университетов, СПб.: 2004.
• Ahlfors Lars V. Complex analysis. An introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. — Third edition. — Harvard University: McGraw-Hill Book Company, 1979. — 317 с. — ISBN 0-07-000657-1.