Комплексное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ко́мпле́ксные[1] чи́сла (устар. мнимые числа[2]) — числа вида , где и  — вещественные числа,  — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: ). Множество комплексных чисел обычно обозначается символом  (от лат. complex — тесно связанный).

Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Относительно этих операций множество комплексных чисел является полем. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, два комплексных числа нельзя сравнивать на больше/меньше.

Первоначально идея о необходимости расширения понятия действительного числа возникла в результате формального решения квадратных и кубических уравнений, в которых в формулах для корней уравнения под знаком корня стояло отрицательное число[3]. В дальнейшем возникшая теория функций комплексного переменного нашла применение для решения многих задач в различных областях математики и физики.

Определения

При любом из способов определения арифметические операции для комплексных чисел имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что невозможно расширить порядок одиночных чисел, включив в него такие упорядоченные пары чисел, чтобы операции отношения порядка по-прежнему были согласованы.

Стандартная модель

Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона.

Комплексное число можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел , записываемую обычно в виде .

Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой , единица — . На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных.

Квадрат числа , называемого мнимой единицей равен , то есть . Запись x+yi получается введением краткого обозначения a для вещественного числа (a,0). Любое комплексное число можно записать в виде (x,y) = (x,0)(1,0 ) + (y,0) (0,1) = x (1,0 ) + y (0,1) = x + y i.

Сложная, на первый взгляд, формула для умножения, легко выводится из соотношения i2=-1

(x+iy)(x'+iy') = (x+iy)x'+(x+iy)iy' = xx' + iyx'+ xiy'+ iyiy' = (xx'-yy') + i (xy'+yx')

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как подкольцо кольца вещественных матриц 2×2 вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

,

мнимой единице —

.

Множество комплексных чисел является двумерным векторным пространством. Умножение на комплексное число x+iy является линейным оператором. В базисе e1=1, e2=i линейный оператор A умножения на x+iy представляется указанной выше матрицей, так как

(x+iy) 1 = x 1 + y i,
(x+iy) i = (-y) 1 + x i .

Определение с использованием многочленов

Определим отношение эквивалентности для многочленов с вещественными коэффициентами. Два многочлена будем считать эквивалентными, если их разность делится на многочлен X2+1.

Тогда многочлен X2 эквивалентен -1.

Многочлен X3 эквивалентен -X.

Многочлен X4 эквивалентен 1.

И т.д.

На множестве классов эквивалентности можно задать структуру кольца с единицей. Т.е. можно определить нулевой, единичный элементы и определить операции сложения, вычитания, умножения.

Такая конструкция называется факторкольцом кольца многочленов R[X] по идеалу, порождённому многочленом X2+1.

Так как многочлен X2+1 неприводим, то это факторкольцо является полем. Это поле изоморфно полю комплексных чисел.

Замечания

Заметим, что число не является единственным числом, удовлетворяющим уравнению . Число также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо , не вполне корректно, так как арифметический корень определяется над множеством неотрицательных чисел.

Во избежание ошибок, выражение с корнями отрицательных величин в настоящее время принято записывать как , а не , несмотря на то, что вплоть до конца XIX века второй вариант записи считался допустимым.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

.

При использовании современной записи такой ошибки не возникло бы:

Действия над комплексными числами

  • Сравнение
    означает, что и (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
  • Сложение:
    .
  • Вычитание:
    .
  • Умножение:
    .
  • Деление:
    .
    • В частности,
      .

Геометрическая модель

Геометрическое представление комплексного числа

Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу сопоставим точку плоскости с координатами (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной (или плоскостью Аргана). Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осями.

Часто бывает удобно рассматривать на комплексной плоскости также полярную систему координат, в которой координатами точки являются расстояние до начала координат (модуль) и угол радиус-вектора точки (показанного синей стрелкой на рисунке) с горизонтальной осью (аргумент). Подробнее см. ниже.

В этом наглядном представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих радиус-векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний, где вместо терминов «модуль» и «аргумент» используются термины «амплитуда» и «фаза».

Геометрическая модель комплексных чисел широко используется в планиметрии: многие планиметрические теоремы можно доказать как некоторые комплексные тождества. Часто этот метод даёт наиболее простое доказательство.

Связанные определения

Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части комплексного числа

Пусть  — комплексное число, где и  — вещественные числа. Числа или и или называются соответственно вещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями числа .

Модуль и аргумент

Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же самое, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).

Модуль комплексного числа обозначается и определяется выражением . Часто обозначается буквами или . Если является вещественным числом, то совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.

Для любых имеют место следующие свойства модуля:

1) , причём тогда и только тогда, когда ;
2) (неравенство треугольника);
3) ;
4) .

Из третьего свойства следует , где . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем .

5) Для пары комплексных чисел и модуль их разности равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.

Угол (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу , называется аргументом числа и обозначается .

  • Из этого определения следует, что ; ; .
  • Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа аргумент определяется с точностью до , где  — любое целое число.
  • Главным значением аргумента называется такое значение , что . Часто главное значение обозначается [4]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного: .

Сопряжённые числа

Геометрическое представление сопряжённых чисел

Если комплексное число , то число называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к (часто обозначается также ). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.

Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.

  • (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).

Произведение и сумма комплексно-сопряженных чисел есть действительное число:

Другие соотношения:

Обобщение: , где  — произвольный многочлен с вещественными коэффициентами. Из этого следует, что многочлен с вещественными коэффициентами имеет либо только действительные корни, либо, если он имеет корни с ненулевой мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряжённых.

Произведение комплексно-сопряженных чисел важно в квантовой механике: не имеющая физического смысла комплексная волновая функция, исчерпывающе описывающая систему микрочастиц, будучи умноженной на своё комплексное сопряжение даёт имеющую физический смысл плотность вероятности нахождения частицы в рассматриваемой точке.

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряжённое к знаменателю выражению используется для устранения комплексности знаменателя, что позволяет выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

Значимость сопряжения объясняется тем, что оно является образующей группы Галуа .

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа в виде , где и , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что ):

;
.

Тригонометрическая форма

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль и аргумент (то есть , ), то всякое комплексное число , кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

.

Показательная форма

Применяя формулу Эйлера к тригонометрической форме, получим показательную форму комплексного числа:

,

где  — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

Свойства

Основная теорема алгебры

В отличие от вещественных чисел, всякий отличный от константы многочлен от одной переменной степени с комплексными коэффициентами имеет (с учётом кратностей) корней. То есть поле алгебраически замкнуто.

Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Эта формула помогает возводить в целую степень ненулевое комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

,

где  — модуль, а  — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером в 1722 году. Приведенная формула справедлива при любом целом , не обязательно положительном.

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней -ой степени из ненулевого комплексного числа:

,

где и .

Отметим, что корни -й степени из ненулевого комплексного числа всегда существуют, и их количество равно . На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат (см. рисунок).

Другие свойства

Комплексные числа являются одним из трёх возможных случаев конечномерной алгебры над полем вещественных чисел.

Если функция комплексного переменного имеет производную в некоторой области, то она имеет производную любого порядка.

История

Впервые, по-видимому, мнимые величины были упомянуты в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), в рамках формального решения задачи по вычислению двух чисел, которые в сумме дают 10, а при перемножении — 40. Он получил для этой задачи квадратное уравнение для одного из слагаемых, и нашёл его корни: и . В комментарии к решению он написал: «эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны» и «Арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утонченного, сколь и бесполезного»[3]. Возможность использования мнимых величин при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые описал Бомбелли (1572). Он же впервые описал правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, однако всё равно считал их бесполезной и хитроумной «выдумкой»[3].

Выражения, представимые в виде , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI—XVII веках с подачи Декарта, который называл их так, отвергая их реальность[3], и для многих других крупных ученых XVII века природа и право на существование мнимых величин представлялись весьма сомнительными, так же как сомнительными в то время считали и иррациональные числа, и даже отрицательные величины. Лейбниц, например, писал[когда?]: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы». Несмотря на это, математики смело применяли формальные методы алгебры вещественных величин и к комплексным, получали корректные вещественные результаты даже из промежуточных комплексных, и это не могло не начать внушать доверие.[3]

Долгое время было неясно, все ли операции над комплексными числами приводят к комплексным или вещественным результатам, или, например, извлечение корня может привести к открытию ещё какого-то нового типа чисел. Задача о выражении корней степени из данного числа была решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722).

Символ для обозначения мнимой единицы предложил Эйлер (1777, опубл. 1794), взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius — «мнимый». Он же распространил все стандартные функции, включая логарифм, на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришёл д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Арифметическая (стандартная) модель комплексных чисел как пар вещественных чисел была построена Гамильтоном (1837); это доказало непротиворечивость их свойств. [источник не указан 1267 дней]

Существенно ранее, в 1685 году в работе «Алгебра» Валлис (Англия) показал, что комплексные корни квадратного уравнения с вещественными коэффициентами можно представить геометрически, точками на плоскости. Но это прошло незамеченным.[3] Следующий раз геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось в работе Весселя (1799). Современное геометрическое представление, иногда называемое «диаграммой Аргана», вошло в обиход после опубликования в 1806-м и 1814-м годах работы Ж. Р. Аргана, повторявшей независимо выводы Весселя. Термины «модуль», «аргумент» и «сопряжённое число» ввёл[когда?] Коши. Таким образом было обнаружено, что комплексные числа пригодны и для выполнения чисто алгебраических операций сложения, вычитания, умножения и деления векторов на плоскости, что сильно изменило векторную алгебру.

В развитие этого подхода начались поиски способа аналогично представить и вектора в трёхмерном пространстве. В результате пятнадцатилетних поисков[3], в 1843 году Гамильтон предложил обобщение комплексных чисел — кватернионы, которые он был вынужден сделать не трёхмерными, а четырёхмерными; также ему пришлось отказаться от коммутативности операции умножения.

Позднее, в 1919 году, стало понятно, что и комплексные числа из вещественных, и кватернионы из комплексных чисел могут быть получены единой процедурой удвоения размерности, также известной как Процедура Кэли — Диксона[5]. Дальнейшим применением этой процедуры образуются числа, описанные Артуром Кэли в 1845 году, до обнаружения этой процедуры, и названные «числами Кэли» (октонионы, октавы). Числа, получаемые следующим применением процедуры, названы седенионами. Несмотря на то, что эту процедуру можно повторять и далее, дальнейшие числа названий пока не имеют.

Вариации и обобщения

Функции комплексного переменного

См. также

Примечания

  1. Двойное ударение указано согласно следующим источникам.
    • Большая советская энциклопедия, 3-е изд. (1973), том 12, стр. 588, статья Ко́мпле́ксные числа.
    • Советский энциклопедический словарь (1982), стр. 613, статья Ко́мпле́ксное число.
    • Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, стр. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».
    • В Большой российской энциклопедии (том 14, 2010 год) по необъяснённым причинам предлагаются одновременно ударения Компле́ксное число (стр. 691), но Ко́мплексный анализ (стр. 695).
    • Орфографический словарь русского языка (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь Российской академии наук под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей указывают варианты: «ко́мплексный» и «компле́ксный (матем.)».
  2. «Математическая энциклопедия» / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: «Советская энциклопедия», 1979. — 1104 с. — (51[03] М34). — 148 800 экз.
  3. 1 2 3 4 5 6 7 Клайн Морис. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984. — С. 138—139.
  4. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 14—15.
  5. Dickson, L. E. (1919), "On Quaternions and Their Generalization and the History of the Eight Square Theorem", Annals of Mathematics, Second Series (Annals of Mathematics) . — Т. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1967865 

Литература

Ссылки