Композиция функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций G и F обычно обозначается G\circ F, что обозначает применение функции G к результату функции F, то есть (G\circ F)(x) = G(F(x)).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть F:X \to Y и G: F(X) \subset Y \to Z две функции. Тогда их композицией называется функция G \circ F: X \to Z, определённая равенством:

(G \circ F)(x) = G(F(x)),\; x\in X.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например сложной можно назвать функцию G вида
    G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)), потому что она представляет собой функцию F, которой на вход подаются результаты функций u и v.

Свойства композиции[править | править вики-текст]

то
G \circ \mathrm{id}_X = G.
  • Если G = \mathrm{id}_Y — тождественное отображение на Y, то есть
    G(y) = \mathrm{id}_Y(y) = y,\; \forall y \in Y,
то
 \mathrm{id}_Y \circ F = F.

Дополнительные свойства[править | править вики-текст]

  • Пусть функция f:X \to Y имеет в точке a предел \lim_{x \to a}f(x) = b, а функция g:f(X) \subset Y \to Z имеет в точке b предел \lim_{y \to b}g(x). Тогда, если на множестве X существует проколотая окрестность точки a, которая отображается функцией f:X \to Y в проколотую окрестность точки b, то в точке a существует предел композиции функций g \circ f: X \to Z и выполнено равенство: \lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y).
  • Если функция f:X \to Y имеет в точке a предел \lim_{x \to a}f(x) = b, а функция g:f(X) \subset Y \to Z непрерывна в точке b, то в точке a существует предел композиции функций g \circ f: X \to Z и выполнено равенство: \lim_{x \to a}g(f(x)) = g(\lim_{x \to a}f(x))=g(b).
  • Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть (X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y), (Z,\mathcal{T}_Z)топологические пространства. Пусть f:X \to Y и g:f(X) \subset Y \to Z две функции, y_0 = f(x_0),\;f \in C(x_0),\; g\in C(y_0). Тогда g \circ f \in C(x_0).
(g \circ f)'(x_0) = g'(y_0) \cdot f'(x_0).