Композиция функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Компози́ция фу́нкций (или суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций и обычно обозначается , что обозначает применение функции к результату функции , то есть .

Определение[править | править вики-текст]

Пусть и  — две функции. Тогда их композицией называется функция , определённая равенством:

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной можно назвать функцию вида
потому что она представляет собой функцию , которой на вход подаются результаты функций и .

Свойства композиции[править | править вики-текст]

  • Композиция ассоциативна:
  • Если тождественное отображение на , то есть
то
  • Если — тождественное отображение на , то есть
то
  • Рассмотрим пространство всех биекций множества на себя и обозначим его . То есть, если , то — биекция. Тогда композиция функций из является бинарной операцией, а группой. является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу является обратная функция.
    • Группа , вообще говоря, не коммутативна, то есть .

Дополнительные свойства[править | править вики-текст]

  • Пусть функция имеет в точке предел , а функция имеет в точке предел . Тогда, если на множестве существует проколотая окрестность точки , которая отображается функцией в проколотую окрестность точки , то в точке существует предел композиции функций и выполнено равенство:
  • Если функция имеет в точке предел , а функция непрерывна в точке , то в точке существует предел композиции функций и выполнено равенство:
  • Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть топологические пространства. Пусть и  — две функции, , и . Тогда .
  • Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть , , и . Тогда , и
.