Композиция функций

Компози́ция фу́нкций (или суперпози́ция фу́нкций) — это применение одной функции к результату другой.

Композиция функций $G$$G$ и $F$$F$ обычно обозначается $G\circ F$$G\circ F$, что обозначает применение функции $G$$G$ к результату функции $F$$F$, то есть $(G\circ F)(x)=G(F(x))$$(G\circ F)(x)=G(F(x))$.

Определение

Пусть $F:X\to Y$$F:X\to Y$ и $G:F(X)\subset Y\to Z$$G:F(X)\subset Y\to Z$ — две функции. Тогда их композицией называется функция $G\circ F:X\to Z$$G\circ F:X\to Z$, определённая равенством:

$(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.$$(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.$

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации, когда на вход функции нескольких переменных подаётся сразу несколько функций от одной или нескольких исходных переменных. Например, сложной можно назвать функцию $G$$G$ вида

  $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$$G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$

потому что она представляет собой функцию $F$$F$, которой на вход подаются результаты функций $u$$u$ и $v$$v$.

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

  $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$$(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$

• Если $F=\mathrm {id} _{X}$$F={\mathrm {id}}_{X}$ — тождественное отображение на $X$$X$, то есть

  $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,$$F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,$

то

$G\circ \mathrm {id} _{X}=G.$$G\circ \mathrm {id} _{X}=G.$

• Если $G=\mathrm {id} _{Y}$$G={\mathrm {id}}_{Y}$ — тождественное отображение на $Y$$Y$, то есть

  $G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,$$G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,$

то

$\mathrm {id} _{Y}\circ F=F.$$\mathrm {id} _{Y}\circ F=F.$

• Рассмотрим пространство всех биекций множества $X$$X$ на себя и обозначим его ${\mathcal {F}}_{X}$${\mathcal {F}}_{X}$. То есть, если $F\in {\mathcal {F}}_{X}$$F\in {\mathcal {F}}_{X}$, то $F:X\to X$$F:X\to X$ — биекция. Тогда композиция функций из ${\mathcal {F}}_{X}$${\mathcal {F}}_{X}$ является бинарной операцией, а $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$$({\mathcal {F}}_{X},\circ )$ — группой. $\mathrm {id} _{X}$$\mathrm{id}_X$ является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу $F\in {\mathcal {F}}_{X}$$F\in {\mathcal {F}}_{X}$ является $F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}$$F^{{-1}}\in {\mathcal {F}}_{X}$ — обратная функция.
  • Группа $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$$({\mathcal {F}}_{X},\circ )$, вообще говоря, не коммутативна, то есть $F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}$$F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}$.

Дополнительные свойства

• Пусть функция $f:X\to Y$$f:X \to Y$ имеет в точке $a$$a$ предел $\lim _{x\to a}f(x)=b$$\lim_{x \to a}f(x) = b$, а функция $g:f(X)\subset Y\to Z$$g:f(X)\subset Y\to Z$ имеет в точке $b$$b$ предел $\lim _{y\to b}g(x)$$\lim_{y \to b}g(x)$. Тогда, если на множестве $X$$X$ существует проколотая окрестность точки $a$$a$, которая отображается функцией $f:X\to Y$$f:X \to Y$ в проколотую окрестность точки $b$$b$, то в точке $a$$a$ существует предел композиции функций $g\circ f:X\to Z$$g \circ f: X \to Z$ и выполнено равенство: $\lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y).$$\lim_{x \to a}g(f(x)) = \lim_{y \to b}g(y).$
• Если функция $f:X\to Y$$f:X \to Y$ имеет в точке $a$$a$ предел $\lim _{x\to a}f(x)=b$$\lim_{x \to a}f(x) = b$, а функция $g:f(X)\subset Y\to Z$$g:f(X)\subset Y\to Z$ непрерывна в точке $b$$b$, то в точке $a$$a$ существует предел композиции функций $g\circ f:X\to Z$$g \circ f: X \to Z$ и выполнено равенство: $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$$\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$
• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$$(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ — топологические пространства. Пусть $f:X\to Y$$f:X \to Y$ и $g:f(X)\subset Y\to Z$$g:f(X)\subset Y\to Z$ — две функции, $y_{0}=f(x_{0})$$y_{0}=f(x_{0})$, $f\in C(x_{0})$$f\in C(x_{0})$ и $g\in C(y_{0})$$g\in C(y_{0})$. Тогда $g\circ f\in C(x_{0})$$g\circ f\in C(x_{0})$.

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$$f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $y_{0}=f(x_{0})$$y_{0}=f(x_{0})$, $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$$f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ и $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$$g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$. Тогда $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$$g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$, и

$(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$$(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.