Конденсат Бозе — Эйнштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конденса́т Бо́зе — Эйнште́йна (бо́зе-эйнште́йновский конденса́т, бо́зе-конденса́т) — агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлаждённые до температур, близких к абсолютному нулю (меньше миллионной доли градуса выше абсолютного нуля). В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне.

Теоретически предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ Шатьендраната Бозе в 1925 году. 70 лет спустя, в 1995 году, первый бозе-конденсат был получен в Объединённом институте лабораторной астрофизики (JILA) (относящемся к Университету штата Колорадо в Боулдере и Национальному институту стандартов) Эриком Корнеллом и Карлом Виманом. Учёные использовали газ из атомов рубидия, охлаждённый до 170 нанокельвин (нК) (1,7·10−7 кельвин). За эту работу им, совместно с Вольфгангом Кеттерле из Массачусетского технологического института, была присуждена Нобелевская премия по физике 2001 года.

Теория[править | править исходный текст]

Замедление атомов с использованием охлаждающей аппаратуры позволяет получить сингулярное квантовое состояние, известное как конденсат Бозе, или Бозе — Эйнштейна. Результатом усилий Бозе и Эйнштейна стала концепция Бозе газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна, которая описывает статистическое распределение тождественных частиц с целым спином, называемых бозонами. Бозоны, которыми являются, например, и отдельные элементарные частицы — фотоны, и целые атомы, могут находиться друг с другом в одинаковых квантовых состояниях. Эйнштейн предположил, что охлаждение атомов — бозонов до очень низких температур заставит их перейти (или, по-другому, сконденсироваться) в наинизшее возможное квантовое состояние. Результатом такой конденсации станет возникновение новой формы вещества.

Этот переход возникает ниже критической температуры, которая для однородного трёхмерного газа, состоящего из невзаимодействующих частиц без каких-либо внутренних степеней свободы, определяется формулой

T_c=\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi mk_B},

где T_c — критическая температура, n — концентрация частиц, m — масса, h — постоянная Планка, k_B — постоянная Больцмана, \zeta — дзета-функция Римана, \zeta(3/2)=2{,}6124\ldots

Эту формулу можно получить из следующих соображений.

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии i равняется


n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/k_B T}-1},

где \varepsilon_i > \mu, ni — количество частиц в состоянии i, gi — вырождение уровня i, εi — энергия состояния i, μ — химический потенциал системы.

Найдём температуру, при которой химический потенциал будет равен нулю. Рассмотрим случай свободных частиц — \varepsilon_i = \frac{p^2}{2m}

\,
 N = \sum_i \frac{1}{e^{\varepsilon_i/k_B T}-1} = \frac{V}{h^3} \int d^3p {1 \over e^{p^2\over 2mk_B T}-1} = \frac{V}{h^3} 4\pi \sqrt 2 (mk_B T)^{3/2} \int\limits_{0}^{\infty} dx \frac{\sqrt{x}}{e^x-1} = \frac{V}{h^3} 4\pi \sqrt 2 (mk_B T)^{3/2} \frac{\sqrt \pi}{2} \zeta(3/2).

Интуитивно понятно, что

 N = \frac{V}{h^3} 4\pi \sqrt 2 (mk_B T)^{3/2} \frac{\sqrt \pi}{2} \zeta(3/2) 
  = \frac{V}{h^3}  (2 \pi mk_B T)^{3/2} \zeta(3/2).

Откуда уже нетрудно получить искомое

T_c=\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi mk_B}.

Модель Эйнштейна[править | править исходный текст]

Рассмотрим набор из N невзаимодействующих частиц, каждая из которых может находиться в двух состояниях, \scriptstyle|0\rangle и \scriptstyle|1\rangle. Если энергии обоих состояний одинаковы, то все возможные конфигурации равновероятны.

Если мы можем различать частицы, то имеется 2^N различных конфигураций, поскольку каждая частица независимо и с равной вероятностью попадает в состояния \scriptstyle|0\rangle и \scriptstyle|1\rangle. При этом практически во всех состояниях количество частиц в состоянии \scriptstyle|0\rangle и в состоянии \scriptstyle|1\rangle почти равно. Это равновесие является статистическим эффектом: чем меньше разность между количествами частиц в обоих состояниях, тем большим количеством конфигураций (микросостояний) системы она реализуется.

Однако если мы считаем частицы неразличимыми, то система имеет всего лишь N+1 различных конфигураций. Каждой конфигурации можно сопоставить число K частиц, находящихся в состоянии \scriptstyle|1\rangleN − K частиц, находящихся в состоянии \scriptstyle|0\rangle); при этом K может изменяться от 0 до N. Поскольку все эти конфигурации равновероятны, то статистически никакой концентрации не происходит — доля частиц, находящихся в состоянии \scriptstyle|1\rangle, распределена равномерно по отрезку [0, 1]. Конфигурация, когда все частицы находятся в состоянии \scriptstyle|0\rangle, реализуется с той же вероятностью, что и конфигурация с половиной частиц в состоянии \scriptstyle|0\rangle и половиной — в состоянии \scriptstyle|1\rangle, или конфигурация со всеми частицами в состоянии \scriptstyle|1\rangle.

Если теперь предположить, что энергии двух состояний различны (для определённости, пусть энергия частицы в состоянии \scriptstyle|1\rangle выше, чем в состоянии \scriptstyle|0\rangle, на величину E), то при температуре T частица будет с большей вероятностью находиться в состоянии \scriptstyle|0\rangle. Отношение вероятностей равно exp(−E/kBT).

В случае различимых частиц их количество в первом и втором состояниях не будет равно, но отношение населённостей будет всё же близко к единице вследствие вышеуказанного статистического стремления системы к конфигурациям, где разность населённостей невелика (эти макросостояния обеспечиваются наибольшим числом конфигураций).

Напротив, когда частицы неразличимы, распределение населённостей существенно сдвигается в пользу состояния \scriptstyle|0\rangle, и с увеличением числа частиц этот сдвиг будет увеличиваться, поскольку нет никакого статистического давления в сторону малой разности населённостей, и поведение системы определяется лишь большей вероятностью для частицы (при любой конечной температуре) занять более низкоэнергетический уровень.

Каждое значение K задаёт для неразличимых частиц определённое состояние системы, вероятность которого описывается больцмановским распределением с учётом того, что энергия системы в состоянии K равна KE (поскольку ровно K частиц занимают уровень с энергией E). Вероятность нахождения системы в этом состоянии:

\,
P(K)= C e^{-KE/k_BT} = C p^K.

Для достаточно больших N нормировочная константа C равна (1-p). Ожидаемое число частиц в состоянии \scriptstyle|1\rangle в пределе \scriptstyle N\rightarrow \infty равно \scriptstyle \sum_{n>0} C n p^n=p/(1-p). При больших N эта величина практически перестает расти и стремится к константе, то есть при большом числе частиц относительная населённость верхнего уровня пренебрежимо мала. Таким образом, в термодинамическом равновесии большинство бозонов будут находиться в состоянии с наименьшей энергией, и лишь малая доля частиц будет в другом состоянии, вне зависимости от того, насколько мала разница уровней энергии.

Рассмотрим теперь газ из частиц, каждая из которых может находиться в одном из импульсных состояний, которые пронумерованы и обозначены как \scriptstyle|k\rangle. Если число частиц гораздо меньше, чем число доступных при данной температуре состояний, все частицы будут находиться на разных уровни, то есть газ в этом пределе ведёт себя как классический. При увеличении плотности или уменьшении температуры число частиц на один доступный уровень энергии увеличивается, и в какой-то момент число частиц в каждом состоянии дойдет до максимально возможного числа частиц в данном состоянии. Начиная с этого момента, все новые частицы будут вынуждены переходить в состояние с наименьшей энергией.

Чтобы рассчитать температуру фазового перехода при данной плотности, необходимо проинтегрировать по всем возможным импульсам выражение для максимального числа частиц в возбужденном состоянии, p/(1 − p):

\,
 N = V \int {d^3k \over (2\pi)^3} {p(k)\over 1-p(k)} = V \int {d^3k \over (2\pi)^3} {1 \over e^{k^2\over 2mk_BT}-1}
\,
p(k)= e^{-k^2\over 2mk_BT}.

При вычислении этого интеграла и подстановке множителя ħ для обеспечения требуемых размерностей получается формула для критической температуры из предыдущего раздела. Таким образом, этот интеграл определяет критическую температуру и концентрацию частиц, соответствующие условиям пренебрежимо малого химического потенциала. Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, μ не обязано строго равняться нулю для возникновения бозе-конденсата; однако μ меньше энергии основного состояния системы. Ввиду этого, при рассмотрении большинства уровней химический потенциал может считаться приблизительно нулевым, за исключением случаев, когда исследуется основное состояние.

Экспериментальное наблюдение[править | править исходный текст]

  • До недавнего времени наименьшая официально зарегистрированная скорость света в среде была чуть больше 60 км/ч — сквозь пары натрия при температуре −272 °C.[2]. Но в 2000 году группе учёных из Гарвардского университета удалось привести свет к скорости много меньшей, 0,2 мм/с, направив его на конденсат Бозе — Эйнштейна рубидия.[3][4].

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Пятое состояние вещества. Lenta.ru (30 ноября 2010). Проверено 7 апреля 2014.
  2. Hau L. V. et al. Light speed reduction to 17 m/c in an ultracold atomic gas // Nature. — 1999. — № 397. — С. 594. — ISSN 0028-0836.
  3. Ученые замедлили скорость света до 0,2 миллиметра в секунду | ScienceBlog.Ru — научный блог
  4. Слепов Н. О свете медленном и быстром. По следам презентации Р. Бойда на OFC-2006 // Фотоника. — 2007. — В. 1. — С. 16—27.
  5. Немецкие физики научились охлаждать и конденсировать свет  (рус.), РИА Новости (25 ноября 2010). Проверено 25 ноября 2010.
  6. Physicists Create New Source of Light: Bose-Einstein Condensate 'Super-Photons'  (англ.), Science Daily (24 ноября 2010). Проверено 25 ноября 2010.
  7. Jan Klaers, Julian Schmitt, Frank Vewinger, Martin Weitz Bose–Einstein condensation of photons in an optical microcavity (англ.) // Nature. — 2010. — Т. 468. — С. 545—548.

Ссылки[править | править исходный текст]