Конечная p-группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Группа называется конечной -группой, если она имеет порядок, равный некоторой степени простого числа.

Основные свойства конечных p-групп[править | править вики-текст]

Пусть  — конечная -группа, тогда

  • P — нильпотентна.
  • , где  — центр группы P.
  • Для любого в существует нормальная подгруппа порядка .
  • Если нормальна в , то .
  • .
  • .

Некоторые классы конечных p-групп[править | править вики-текст]

В данном разделе описаны определения и свойства некоторых классов конечных -групп, которые часто рассматриваются в научной литературе.

p-группы максимального класса[править | править вики-текст]

Конечная -группа порядка называется группой максимального класса, если её ступень нильпотентности равна .

Если  — конечная -группа максимального класса, то и .

Единственными 2-группами порядка максимального класса являются: диэдральная группа , обобщённая группа кватернионов и полудиэдральная группа .

В отличие от 2-групп, случай p-групп максимального класса при p>2 значительно более сложен.

p-центральные p-группы[править | править вики-текст]

Конечная -группа называется -центральной, если . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию мощной -группы.

Мощные p-группы[править | править вики-текст]

Конечная -группа называется мощной, если при и при . Понятие двойственно, в некотором смысле, понятию -центральной -группы.

Регулярные p-группы[править | править вики-текст]

Конечная -группа называется регулярной, если для любых выполнено , где . Регулярными будут, например, все абелевы -группы. Группа не являющаяся регулярной, называется нерегулярной.

  • Любая подгруппа и факторгруппа регулярной -группы регулярна.
  • Конечная -группа регулярна, если любая её подгруппа, порождённая двумя элементами регулярна.
  • Конечная -группа порядка не большего является регулярной.
  • Конечная -группа класс нильпотентности которой меньше является регулярной. Также регулярны все группы класса нильпотентности 2 при .
  • Любая конечная неабелева 2-группа является нерегулярной.

Конечные p-группы небольших порядков[править | править вики-текст]

Число различных -групп порядка [править | править вики-текст]

  • Число неизоморфных групп порядка равно 1: группа .
  • Число неизоморфных групп порядка равно 2: группы и .
  • Число неизоморфных групп порядка равно 5, из них три абелевы группы: , , и две неабелевы: при  — и ; при p = 2 — , .
  • Число неизоморфных групп порядка равно 15 при , число групп порядка равно 14.
  • Число неизоморфных групп порядка равно при . Число групп порядка равно 51, число групп порядка равно 67.
  • Число неизоморфных групп порядка равно при . Число групп порядка равно 267, число групп порядка равно 504.
  • Число неизоморфных групп порядка равно при . Число групп порядка равно 2328, число групп порядка равно 9310, число групп порядка равно 34297.

p-группы порядка , асимптотика[править | править вики-текст]

При число неизоморфных групп порядка асимптотически равно .

Знаменитые проблемы теории конечных p-групп[править | править вики-текст]

Группа автоморфизмов конечной p-группы[править | править вики-текст]

Для групп -автоморфизмов конечной -группы существуют несложные верхние оценки, однако оценки снизу гораздо сложнее. В течение более полувека остаётся открытой следующая гипотеза:

  • Пусть является нециклической -группой порядка , тогда .

Эта гипотеза подтверждена для обширного класса -групп: абелевых групп, для всех групп порядков не более , групп максимального класса. Однако общего подхода к этой проблеме пока не найдено.

Гипотеза Хигмена[править | править вики-текст]

Дж. Томпсоном была доказана известная теорема, утверждающая, что конечная группа с регулярным автоморфизмом простого порядка нильпотентна.

  • Пусть группа обладает регулярным автоморфизмом простого порядка . Тогда её класс нильпотентности равен .

Пока доказаны лишь значительно более слабые оценки: (Кострикин, Крекнин).

Ослабленная гипотеза Бернсайда[править | править вики-текст]

Гипотеза Бернсайда состояла в том, что если есть группа с образующими и периодом (то есть все её элементы удовлетворяют соотношению ), то она конечна. Если это так, обозначим максимальную из этих групп через . Тогда все другие группы с таким же свойством будут её фактор-группами. Действительно, как легко показать группа является элементарной абелевой 2-группой. Ван дер Варден доказал, что порядок группы равен . Однако, как показали Новиков и Адян, при и при любом нечётном группа бесконечна.

Ослабленная гипотеза Бернсайда утверждает, что порядки конечных -порождённых групп периода ограничены. Эта гипотеза была доказана Ефимом Зельмановым. Для конечных групп она означает, что существует лишь конечное число групп данной экспоненты и с данным числом образующих.

Нерегулярные p-группы[править | править вики-текст]

Классификация нерегулярных p-групп порядка .

Литература[править | править вики-текст]

  • Белоногов В. А. Задачник по теории групп — М.: Наука, 2000.
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
  • Хухро E.И. O p-группах автоморфизмов абелевых p-групп — Алгебра и логика, 39, N 3 (2000), 359—371.
  • Berkovich Y. Groups of Prime Power Order, Parts I, II, (in preparation).
  • Berkovich Y., Janko Z. Groups of Prime Power Order, Part III, (in preparation).
  • Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.
  • Huppert B. Endliche Gruppen I. — Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.
  • Lazard M. Groupes analytiques p-adiques — Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., 26 (1965), 389—603.
  • Lubotzky A., Mann A. Powerful p-groups, I: finite groups, J. Algebra, 105, N2 (1987), 484—505; II: p-adic analytic groups, ibid., 506—515.
  • Weigel T. Combinatorial properties of p-central groups — Freiburg Univ., 1996, preprint.
  • Weigel T. p-Central groups and Poincare duality — Freiburg Univ., 1996, preprint.

Ссылки[править | править вики-текст]