Конечное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конечное множество — множество, количество элементов которого конечно, то есть, существует неотрицательное целое число k, равное количеству элементов этого множества. В противном случае множество называется бесконечным. Например,

конечное множество из пяти элементов. Число элементов конечного множества является натуральным числом и называется мощностью множества. Множество всех положительных целых чисел бесконечно:

Конечные множества играют особую роль в комбинаторике, которая изучает дискретные объекты. Рассуждения о конечных множествах используют принцип Дирихле, согласно которому не может существовать инъекция из большего конечного множества в меньшее.

Формальное определение[править | править вики-текст]

Два множества и называются эквивалентными, если существует биективное отображение одного множества в другое. Если множества X и Y эквивалентны, то этот факт записывают или и говорят, что множества имеют одинаковые мощности.

Множество называется конечным, если оно эквивалентно множеству при некотором неотрицательном целом . При этом число называется количеством элементов множества , что записывается как .[1]

В частности, пустое множество является конечным множеством, количество элементов которого равно 0, то есть, .

Существуют и другие определения конечного множества:

  • множество конечно, если оно индуктивно;
  • множество конечно, если множество всех его подмножеств нерефлексивно[2];
  • множество конечно, если оно нерефлексивно;
  • множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству[2].

Проблема определения конечности множеств в общем случае неразрешима (теорема Трахтенброта). Не существует ни самого слабого, ни самого сильного определения конечного множества. Для каждой логической формулы, являющейся определением конечного множества, существует более сильная и более слабая формулы. Существует неограниченное число логических формул, определяющих конечные множества, и среди них неограниченное множество независимых определений.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Регулярное множество не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству; [1]
  • Если конечные множества попарно не пересекаются (то есть, ), то
    ;
  • Если  — конечные множества, то
    ;
  • Если  — конечное множество, то мощность его булеана равна

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Соболева Т. С., Чечкин А. В. Дискретная математика. — Академия, 2006. — ISBN 5-7695-2823-0.
  2. 1 2 Френкель, 1966, с. 87.

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]