Конечное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коне́чное по́ле, или по́ле Галуа́ в общей алгебре — поле, состоящее из конечного числа элементов. Число элементов в поле называется его поря́дком.

Наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов по простому модулю, то есть факторкольцо \mathbb{Z}/(p), где p — простое число[1].

Конечное поле обычно обозначается \mathbb{F}_q или \mathrm{GF}(q) (сокращение от Galois field) и называется полем Галуа порядка q[2], где q — число элементов поля. С точностью до изоморфизма конечное поле полностью определяется его порядком, который всегда является степенью какого-нибудь простого числа, то есть q=p^n, где p — простое число, а n — любое натуральное число. При этом p  будет являться характеристикой этого поля[3].

Понятие конечного поля используется, в частности, в теории чисел[4], теории групп[4], алгебраической геометрии[4], криптографии[5], в разработке криптографически стойких шифров, таких как AES[6].

Определение[править | править вики-текст]

Конечным полем называется конечный набор элементов, на котором определены операции сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на 0), удовлетворяющие аксиомам поля[7].

Поле с простым числом элементов и связь с кольцами вычетов[править | править вики-текст]

Простейший пример конечного поля — поле классов вычетов по модулю простого числа p, обозначаемое \mathbb{Z}/(p). Это поле можно представить следующим образом. Для простого числа p элементами поля будут числа \{0, 1, ..., p - 1\}. Сложение и умножение определены как сложение и умножение чисел с приведением результата по модулю p[8]. Ниже приведены примеры таких полей с двумя элементами и тремя элементами.

Любое поле простого порядка может быть представлено кольцом вычетов (т.е. любое поле из p элементов изоморфно полю \mathbb{Z}/(p)). Однако не каждое конечное поле является кольцом вычетов, и не каждое кольцо вычетов по модулю натурального числа n является полем. Кольцо \mathbb Z/(n) является полем тогда и только тогда, когда n — простое число[9]. Если же n — составное число, то не все ненулевые элементы кольца \mathbb Z/(n) обратимы. Например, \mathbb Z/(4) — не поле, так как элемент 2 в этом кольце не обратим. Тем не менее, существует поле, состоящее из четырёх элементов (см. ниже).

Характеризация конечных полей[править | править вики-текст]

Характеристика каждого конечного поля является простым числом. Пусть F — конечное поле. Тогда оно состоит из  p^n элементов, где p — характеристика поля F, а натуральное число n — степень поля F над его простым подполем[3].

Согласно теореме о существовании и единственности конечных полей, для каждого простого числа p и натурального числа n существует конечное поле из p^n элементов и любое конечное поле из q=p^n элементов изоморфно полю разложения многочлена x^q - x над полем \mathbb{F}_p. Данная теорема позволяет говорить о вполне определённом поле данного порядка q (то есть о поле Галуа из q элементов)[10].

Построение[править | править вики-текст]

Поле \mathbb F_{p^n} при n > 1 можно построить как факторкольцо \mathbb{K}=\mathbb F_p[x]/(f(x)), где f(x) — неприводимый многочлен степени n над полем \mathbb F_p. Таким образом, для построения поля из p^n элементов достаточно отыскать многочлен степени n, неприводимый над полем \mathbb F_p. Элементами поля \mathbb{K} являются классы вычетов многочленов степени меньшей n с коэффициентами из \mathbb F_p по модулю главного идеала, порождённого многочленом f(x).

Элемент \alpha=x+(f(x))\in \mathbb{F}_p[x]/(f(x)) является корнем многочлена f(x) и поле \mathbb{F}_p[x]/(f(x)) порождается этим элементом над полем \mathbb{F}_p, поэтому переход от поля \mathbb{F}_p к полю \mathbb{F}_p[x]/(f(x)) называется присоединением к полю \mathbb{F}_p корня неприводимого многочлена f(x).[11][12]

Свойства[править | править вики-текст]

Цикличность мультипликативной группы[править | править вики-текст]

Ненулевые элементы поля \mathbb F_q образуют группу относительно операции умножения, которая называется мультипликативной группой поля и обозначается \mathbb F_q^*. Эта группа является циклической, то есть в ней есть порождающий элемент, а все остальные элементы получаются возведением в степень порождающего[7].

Порождающий элемент \mathbb F_q^* называется также примитивным элементом поля \mathbb F_q. Поле \mathbb F_q содержит \varphi(q-1) примитивных элементов, где \varphi — функция Эйлера.[13]

Другие свойства[править | править вики-текст]

  • Каждый элемент поля \mathbb{F}_{q} удовлетворяет равенству a^q = a[3].
  • Поле \mathbb{F}_{p^n} содержит в себе в качестве подполя \mathbb{F}_{p^k} тогда и только тогда, когда k является делителем n[2].
  • Если f\in \mathbb F_q[x] — неприводимый многочлен степени m, то поле \mathbb F_{q^m} содержит любой его корень \alpha, причём множество всех его корней имеет вид \{\alpha,\alpha^q,\ldots,\alpha^{q^{m-1}}\}. Таким образом, \mathbb F_{q^m} является полем разложения многочлена f над полем \mathbb F_q[14].
  • Для каждого конечного поля \mathbb F_q и натурального числа n произведение всех нормированных неприводимых над \mathbb F_q многочленов, степень которых делит n, равно x^{q^n}-x. В частности, сумма степеней таких многочленов равна q^n[15].
  • Число N(q, n) нормированных многочленов степени n, неприводимых над полем \mathbb{F}_q, определяется по формуле N(q,n)=\frac{1}{n}\sum_{d|n} \mu(d)q^{\frac{n}{d}}, где \mu — функция Мёбиуса. Это утверждение следует из формулы q^n=\sum_{d|n} dN(q,d) после применения формулы обращения Мёбиуса[16].

Примеры[править | править вики-текст]

Поле из двух элементов[править | править вики-текст]

Поле \mathbb{F}_2 состоит из двух элементов, но оно может быть задано разными способами в зависимости от выбора элементов и определения операций сложения и умножения на них:[17]

  • Как множество из двух чисел «0» и «1», на котором операции сложения и умножения определены как сложение и умножение чисел с приведением результата по модулю 2:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
× 0 1
0 0 0
1 0 1
  • Как множество из двух логических объектов «ЛОЖЬ» (F) и «ИСТИНА» (T), на котором операции сложения и умножения определены как булевые операции «исключающее или» и «и» соответственно:
+ F T
F F T
T T F
× F T
F F F
T F T

Данные поля являются изоморфными друг другу, т. е. это фактически два разных способа задания одного и того же поля.

Поле из трёх элементов[править | править вики-текст]

Поле \mathbb{F}_3 = \{0, 1, 2\}. Сложения и умножения определены как сложение и умножение чисел по модулю 3. Таблицы операций \mathbb{F}_3 имеют вид:

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
× 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1

Поле из четырёх элементов[править | править вики-текст]

Поле \mathbb{F}_4 можно представить как множество \{0, 1, \alpha, \alpha+1\} (где \alpha — корень многочлена f(x)=x^2+x+1, то есть \alpha^2=-\alpha-1=\alpha+1). Таблицы операций \mathbb{F}_4 имеют вид:[18]

+ 0 1 \alpha \alpha+1
0 0 1 \alpha \alpha+1
1 1 0 \alpha+1 \alpha
\alpha \alpha \alpha+1 0 1
\alpha+1 \alpha+1 \alpha 1 0
× 0 1 \alpha \alpha+1
0 0 0 0 0
1 0 1 \alpha \alpha+1
\alpha 0 \alpha \alpha+1 1
\alpha+1 0 \alpha+1 1 \alpha

Поле из девяти элементов[править | править вики-текст]

Для построения поля \mathbb F_9 = \mathrm{GF}(3^2) достаточно найти нормированный многочлен степени 2, неприводимый над \mathbb{F}_3. Такими многочленами являются:

x^2+1
x^2+x+2
x^2+2x+2

Для x^2+1 искомое поле есть \mathbb F_9=\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) (если вместо x^2+1 взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому). В приведённых ниже таблицах символ i обозначает класс эквивалентности многочлена x в факторкольце \mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1), удовлетворяющий уравнению i^2+1=0.

Таблица сложения в \mathbb F_9 определяется, исходя из соотношения 1+1+1=0:

+ 0 1 2 i i+1 i+2 2i 2i+1 2i+2
0 0 1 2 i i+1 i+2 2i 2i+1 2i+2
1 1 2 0 i+1 i+2 i 2i+1 2i+2 2i
2 2 0 1 i+2 i i+1 2i+2 2i 2i+1
i i i+1 i+2 2i 2i+1 2i+2 0 1 2
i+1 i+1 i+2 i 2i+1 2i+2 2i 1 2 0
i+2 i+2 i i+1 2i+2 2i 2i+1 2 0 1
2i 2i 2i+1 2i+2 0 1 2 i i+1 i+2
2i+1 2i+1 2i+2 2i 1 2 0 i+1 i+2 i
2i+2 2i+2 2i 2i+1 2 0 1 i+2 i i+1

Таблица умножения в \mathbb F_9 определяется из соотношения i^2=-1:

× 0 1 2 i i+1 i+2 2i 2i+1 2i+2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 i i+1 i+2 2i 2i+1 2i+2
2 0 2 1 2i 2i+2 2i+1 i i+2 i+1
i 0 i 2i 2 i+2 2i+2 1 i+1 2i+1
i+1 0 i+1 2i+2 i+2 2i 1 2i+1 2 i
i+2 0 i+2 2i+1 2i+2 1 i i+1 2i 2
2i 0 2i i 1 2i+1 i+1 2 2i+2 i+2
2i+1 0 2i+1 i+2 i+1 2 2i 2i+2 i 1
2i+2 0 2i+2 i+1 2i+1 i 2 i+2 1 2i

Можно проверить, что элемент i+1 имеет порядок 8 и является примитивным. Элемент i не является примитивным, так как i^4=1 (другими словами, многочлен x^2+1\in\mathbb F_3[x] не является примитивным)[18].

Мультипликативная группа поля из 16 элементов[править | править вики-текст]

Когда поле \mathbb F_{16} = \mathrm{GF}(2^4) строится с помощью неприводимого многочлена x^4 + x + 1, элементы расширения задаются наборами коэффициентов многочлена, который получается в остатке при делении на x^4 + x + 1, записанными в порядке возрастания степеней. Мультипликативная группа порождается элементом \alpha = x, который записывается как (0, 1, 0, 0)[19].

Многочлен Степень \alpha 1, x, x^2, x^3
\alpha (0, 1, 0, 0)
\alpha^2 (0, 0, 1, 0)
\alpha^3 (0, 0, 0, 1)
1 + \alpha \alpha^4 (1, 1, 0, 0)
\alpha + \alpha^2 \alpha^5 (0, 1, 1, 0)
\alpha^2 + \alpha^3 \alpha^6 (0, 0, 1, 1)
\alpha^3 + \alpha + 1 = \alpha^3 + \alpha^4 \alpha^7 (1, 1, 0, 1)
1 + \alpha^2 =\alpha + 1 + \alpha^2 + \alpha \alpha^8 (1, 0, 1, 0)
\alpha + \alpha^3 \alpha^9 (0, 1, 0, 1)
\alpha^2 + 1 + \alpha = \alpha^2 + \alpha^4 \alpha^{10} (1, 1, 1, 0)
\alpha + \alpha^2 + \alpha^3 \alpha^{11} (0, 1, 1, 1)
1 + \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 = \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 \alpha^{12} (1, 1, 1, 1)
1 +\alpha^2 + \alpha^3 = \alpha + \alpha^2 + \alpha^3 + \alpha^4 \alpha^{13} (1, 0, 1, 1)
1 + \alpha^3 = \alpha + \alpha^3 + \alpha^4 \alpha^{14} (1, 0, 0, 1)
1 = \alpha + \alpha^4 \alpha^{15} (1, 0, 0, 0)

Приложения[править | править вики-текст]

Диофантовы уравнения[править | править вики-текст]

Диофантово уравнение является уравнением с целыми коэффициентами, в котором переменные также принимают целочисленные значения. Большую волну обсуждения таких уравнений вызвал Ферма, сформулировав свои теоремы. Малая теорема Ферма утверждает, что если p — простое число, не являющееся делителем другого числа a, то a^{p-1}\equiv 1\pmod p. В теории конечных полей эта теорема является очевидным следствием теоремы Лагранжа, применённой к мультипликативной подгруппе, порождённой элементом a, так как вся мультипликативная группа поля \mathbb F_p состоит из p-1 элементов[7].

Ферма замечает, что единственные простые числа, которые можно разложить в сумму двух квадратов — это те простые числа, которые дают остаток 1 при делении на 4. В частности, он отмечает, что

5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2, \quad 41 = 4^2 + 5^2.

В своём письме к Марену Мерсенну, датированном 25 декабря 1640 года, Ферма предлагает решить уравнение a^2+b^2=p[20].

Юлиус Дедекинд исследовал это уравнение в конечном поле \mathbb{F}_p, где оно принимает вид a^2+b^2=0. Если b=0, то решение тривиально. В противном случае можно разделить обе части на b^2 и, введя замену, получить уравнение вида x^2+1=0. Домножением на x^2-1=0 получается уравнение x^4-1=0. Считая x генератором мультипликативной подгруппы порядка 4, можно получить необходимые и достаточные условия на p, при которых уравнение имеет решение. Дальнейшее доказательство теоремы Ферма — Эйлера, проведённое Дедекиндом, не использует понятия конечных полей и его можно найти в соответствующей статье[21].

Теория корректирующих кодов[править | править вики-текст]

Годом создания теории корректирующих кодов считается 1948 год, в котором была опубликована статья Клода Шеннона, в которой он показывает, что наличие ошибок при передаче информации по какому-либо каналу зависит в том числе от соотношения скорости передачи и пропускной способности канала. Скорость передачи должна быть выше пропускной способности. Шеннон привел доказательства, но они были признаны несостоятельными[22].

Конструктивный подход предложил Ричард Хэмминг, задав тем самым вектор развития многих более поздних статей данной тематики. В своей работе Хэмминг построил простой код, исправляющий ошибки определенным образом. Хэмминг рассматривал корректирующие коды только над полем \mathbb F_2[23]. Вскоре подобные коды были построены над произвольными конечными полями Голеем в 1949 году[24]. Однако наибольший вклад в эту теорию принадлежит все же Хэммингу[23].

Криптография[править | править вики-текст]

Конечные поля получили широчайшее применение в криптографии. Основополагающей работой считается статья Диффи и Хелмана по криптографии с открытым ключом, в которой был предложен протокол обмена ключами[5]. В этой работе использовались конечные поля определенного вида. Позже появилось великое множество криптографических протоколов и криптосистем, основанных на применении конечных полей. В их число входят схема Эль-Гамаля, Advanced Encryption Standard, схема Шнорра, алгоритм Чаума (слепая подпись), криптосистема XTR (англ.) и многие другие. Алгоритмы на основе эллиптических кривых, являющиеся одним из ключевых объектов изучения в современной криптографии, также используют конечные поля[25].

Также зачастую качество шифрования зависит от способности быстро генерировать большие простые числа. Соответственно, встает задача построения алгоритма разложения числа на простые множители (определение простоты того или иного числа). Михаэль Рабин опубликовал исследование, в котором он предлагает тест простоты на основе свойств мультипликативной группы поля[26].

Прочее[править | править вики-текст]

Космический зонд «Вояджер»

В 1960 году Р. К. Боуз и Д. К. Рой-Чоудхури опубликовали работу, в которой исследовали семейства многочленов над конечными полями. А. Хоквингем обобщил их теорию, что привело к созданию кода БЧХ, частным случаем которого является широко известный код Рида — Соломона, имеющий очень обширное применение. Он используется при записи и чтении в контроллерах оперативной памяти, при архивировании данных, записи информации на жесткие диски (ECC), записи на CD/DVD диски. Примечательно то, что при повреждении значительного объёма информации, или если испорчено несколько секторов дискового носителя, код Рида — Соломона позволяют восстановить большую часть потерянной информации. Код БЧХ используется также в системе связи некоторых зондов NASA (таких как Voyager)[27].

История изучения[править | править вики-текст]

Начала теории конечных полей восходят к XVII и XVIII веку. Над этой темой работали такие учёные, как Пьер Ферма, Леонард Эйлер, Жозеф Луи Лагранж и Адриен Мари Лежандр, которых можно считать основателями теории конечных полей простого порядка. Однако больший интерес представляет общая теория конечных полей, берущая своё начало с работ Гаусса и Галуа[28]. До некоторого времени эта теория находила применение только в алгебре и теории чисел, однако впоследствии были найдены новые точки соприкосновения с алгебраической геометрией, комбинаторикой и теорией кодирования[4].

Вклад Галуа[править | править вики-текст]

Эварист Галуа

В 1830 году восемнадцатилетний Эварист Галуа опубликовал работу[29], которая положила основу общей теории конечных полей. В этой работе Галуа (в связи с исследованиями по теории групп перестановок и алгебраических уравнений[30]) вводит воображаемый корень сравнения F(x)\equiv 0\pmod p, где F(x) — произвольный многочлен степени \nu, неприводимый по модулю p. После этого рассматривается общее выражение A = a_0 + {a_1}i + {a_2}i^2 + ... + a_{\nu-1}i^{\nu-1}, где a_0, a_1, ..., a_{\nu-1} — некие целые числа по модулю p. Если присваивать этим числам всевозможные значения, выражение A будет принимать p^{\nu} значений. Далее Галуа показывает, что эти значения образуют поле и мультипликативная группа этого поля является циклической. Таким образом, эта работа является первым камнем в фундаменте общей теории конечных полей. В отличие от его предшественников, рассматривающих только поля \mathbb F_p, Галуа рассматривает уже поля \mathbb F_{p^n}, которые начали называть полями Галуа в его честь[31].

На самом деле, первая работа в этом направлении была написана Гауссом примерно в 1797 году, однако при его жизни это исследование так и не было издано. Вероятно, данное исследование было проигнорировано редактором его сочинений, поэтому на свет эта работа появилась только в посмертном издании в 1863 году[32].

Дальнейшее развитие[править | править вики-текст]

В 1893 году математик Элиаким Мур доказал теорему о классификации конечных полей, утверждающую, что любое конечное поле является полем Галуа, то есть любое поле из p^n элементов изоморфно полю классов вычетов многочленов с коэффициентами из \mathbb F_p по модулю неприводимого многочлена степени n[33]. К этому же году относится первая попытка дать аксиоматический подход к теории конечных полей, осуществленная Генрихом Вебером, который пытался объединить в своей работе понятия, возникшие в различных разделах математики, в том числе и понятие конечного поля[34]. Далее в 1905 году Джозеф Веддербёрнruen доказывает малую теорему Веддербёрна о том, что любое конечное тело коммутативно, то есть является полем. Современное аксиоматическое определение поля (с конечными полями в качестве частного случая) принадлежит Эрнсту Стейницу и изложено в его работе 1910 года[35].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 65.
  2. 1 2 Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 68.
  3. 1 2 3 Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 66.
  4. 1 2 3 4 Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 5.
  5. 1 2 W. Diffie and M.E. Hellman. New directions in cryptography. IEEE Trans. Info. Theory, IT-22(6):644-654, 1976.
  6. О.С Зензин, М.А. Иванов. Стандарт криптографической защиты - AES. Конечные поля.. — КУДИЦ-Образ, 2002. — С. 41 - 78. — 176 с. — ISBN 5-93378-046-4.
  7. 1 2 3 Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 151. — 224 с.
  8. Егоров А. А. Сравнения по модулю и арифметика остатков // Квант. — 1970. — № 5. — С. 28—33.
  9. Винберг, 2011, с. 32.
  10. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 67-68.
  11. Винберг, 2011, с. 409.
  12. Лидл. Нидеррайтер, 1998, с. 51, 66.
  13. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 69-70.
  14. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 71.
  15. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 119.
  16. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 121.
  17. Габидулин Э. М., Кшевецкий А. С., Колыбельников А. И., Владимиров С. М. Защита информации. Учебное пособие. Версия от 22 ноября 2015 года. — С. 249.
  18. 1 2 Mullen, Gary L.; Panario, Daniel. Handbook of Finite Fields. — CRC Press, 2013. — ISBN 978-1-4398-7378-6.
  19. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 152. — 224 с.
  20. Ю.И.Журавлев, Ю.А.Флеров, М.Н.Вялый. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — М.: МЗ Пресс, 2007. — С. 38. — 224 с.
  21. R. Dedekind, Supplément XI des Leçons en théorie des nombres de Dirichlet, 1894
  22. Шеннон, К. Математическая теория связи // Работы по теории информации и кибернетике. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 243—332.
  23. 1 2 Хэмминг, К. Коды с обнаружением и исправлением ошибок. — М.: Издательство иностранной литературы, 1956. — С. 7-23.
  24. Golay M. J. E. Notes on digital coding // Proceedings IRE. 1949. V. 37, P.657.
  25. Анатолий Болотов, Сергей Гашков, Александр Фролов, Анатолий Часовских. Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраические и алгоритмические основы. — КомКнига, 2006. — С. 390 — 398. — 527 с. — ISBN 5-484-00443-8.
  26. M. Rabin, Probabilistic Algorithm for Testing Primality, J. Number Th. 12 (1980), 128—138
  27. Bose R. C., Ray-Chaudhuri D. K. On a class of error-correcting binary group codes // Inform. Control. — vol. 3. — mars 1960. — p. 68—79.
  28. Лидл, Нидеррайтер, 1998, с. 10.
  29. Evariste Galois (1830), Sur la théorie des nombres. Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13, pp 428—435 (1830)
  30. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с фр. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: ИЛ, 1963. — С. 102.
  31. Israel Kleiner. A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — С. 70. — 168 с. — ISBN 978-0-8176-4684-4.
  32. G. Frei. The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field. — Goldstein Schappacher Schwermer, 2007. — С. 159-198.
  33. Moore, Eliakim Hastings. A doubly-infinite system of simple groups // Chicago Congr. Papers. — 1896. — P. 208-242.
  34. H. Weber, " Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie ", Mathematische Annalen, vol. 43,‎ 1893, p. 521—549
  35. Ernst Steinitz, " Algebraische Theorie der Körper ", Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 137,‎ 1910, p. 167—309 (ISSN 0075-4102)

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — новое изд., перераб. и доп. — М.: МЦНМО, 2011. — 592 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-685-3.
  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8.
  • Журавлев Ю. И., Флеров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. — 2-е изд. — М.: МЗ Пресс, 2007. — 224 с. — 1000 экз. — ISBN 5-94073-101-5.
  • Васильев К. К., Глушков В. А., Дормидонтов А. В., Нестеренко А. Г. Теория электрической связи. — Ульяновск: УлГТУ, 2008. — 452 с. — ISBN 978-5-9795-0203-8.
  • Ernst Steinitz. Algebraische Theorie der Körper (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1910. — Bd. 137. — S. 167-309.
  • W. Diffie and M.E. Hellman. New Directions in Cryptography. — 1976.
  • Israel Kleiner. A History of Abstract Algebra. — Birkhäuser, 2007. — ISBN 978-0-8176-4684-4.