Конечномерное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Коне́чноме́рное простра́нство — это векторное пространство, в котором имеется конечный базис — порождающая (полная) линейно независимая система векторов. Другими словами, в таком пространстве существует конечная линейно независимая система векторов, линейной комбинацией которых можно представить любой вектор данного пространства.

Базис — это (одновременно) и минимальная порождающая (полная) система, и максимальная линейно независимая система векторов. Все базисы содержат одно и то же количество элементов, которое называется размерностью векторного пространства.

Конечномерное пространство, в котором введено скалярное произведение его элементов называется евклидовым. Конечномерное пространство, в котором введена норма его элементов называется конечномерным нормированным. Наличие скалярного произведения или нормы порождает в конечномерном пространстве метрику.

Свойства конечномерных пространств[править | править вики-текст]

Всякий элемент конечномерного пространства представим единственным образом в виде

где  — поле(часто или ), над которым рассматривается пространство ,  — элементы базиса. Это следует из определения базиса.

Также любой базис в евклидовом пространстве можно сделать ортонормированным при помощи ортогонализации Шмидта.

  • Все базисы конечномерного пространства состоят из одинакового количества элементов. Это свойство даёт корректность определения размерности пространства.
  • Пусть X — конечномерное пространство и  — линейно-независимая система элементов. Тогда эту систему всегда можно дополнить до базиса.
  • Все конечномерные пространства одинаковой размерности изоморфны друг другу.
  • В любом конечномерном пространстве над полем можно ввести скалярное произведение. Например, в пространстве с фиксированным базисом, размерности , можно ввести скалярное произведение по правилу:
    , где  — компоненты векторов и соответственно.
    Из этого свойства следует, что в конечномерном пространстве над полем можно ввести норму и метрику. Как следствие, можно получить что:
    • рефлексивное пространство[1].
    • Пространство , сопряжённое к некоторому конечномерному пространству , конечномерно и его размерность совпадает с размерностью .
    • Для любого подпространства конечномерного пространства существует подпространство [2] такое, что и разлагается в прямую сумму и , .
  • В евклидовом пространстве каждая слабо сходящаяся последовательность сходится сильно.
  • Все нормы в конечномерном пространстве над полем эквивалентны. Сходимость в евклидовом пространстве эквивалентна покоординатной сходимости.
  • Каждый линейный непрерывный оператор в конечномерном пространстве можно представить в виде матрицы.
  • Пространство над полем является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный оператор является вполне непрерывным.
  • Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда найдется действующий над обратимый вполне непрерывный оператор.
  • Пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда единичный шар в предкомпактен. Это свойство можно переформулировать следующим образом: пространство является конечномерным тогда и только тогда, когда любое ограниченное в множество предкомпактно.
  • Всякий линейный оператор , определенный в конечномерном пространстве является непрерывным и даже вполне непрерывным.
  • В конечномерном пространстве, каждый оператор является унитарным тогда и только тогда, когда он изометрический, то есть сохраняет скалярное произведение.

Примеры[править | править вики-текст]

Более общий случай — пространства размерности n. Норму в них обычно задают одним из следующих способов ():

или

Если ввести норму и скалярное произведение то пространство будет евклидовым.

  • -пространство всех многочленов степени не выше . Размерность этого пространства . Многочлены образуют в нём базис.
  • Пусть - произвольное линейное пространство и пусть некоторая линейно-независимая система векторов. Тогда линейная оболочка, натянутая на эту систему есть конечномерное пространство.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Это факт можно получить как при помощи теоремы Рисса-Фреше, так и прямыми выкладками, без использования теории гильбертовых пространств.
  2. часто называют ортогональным дополнением к

Литература[править | править вики-текст]