Конечнопорождённая абелева группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре абелева группа называется конечнопорождённой, если существует конечный набор , такой что существует представление

где  — целые числа. В таком случае говорится, что порождает группу или что порождают .

Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечнопорождённой. Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Целые числа являются конечнопорождённой абелевой группой.
  • Числа по модулю являются конечнопорождённой абелевой группой.
  • Любое прямое произведение конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой.

Нет других конечнопорождённых абелевых групп. Группа рациональных чисел не является конечнопорожденной: если , возьмём натуральное число , взаимно простое со всеми их знаменателями; тогда не может быть порождено .

Классификация[править | править вики-текст]

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида

где , и числа являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения однозначно определены (с точностью до порядка) группой , в частности, конечна тогда и только тогда, когда .

На основании того факта что будет изоморфно произведению и тогда и только тогда, когда и взаимно просты и , мы также можем представить любую конечнопорождённую группу в форме прямого произведения

где делит , который делит и так далее до . И снова, числа и однозначно заданы группой .

См. также[править | править вики-текст]