Константа Чигера (теория графов)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике константой Чигера (также числом Чигера или изопериметрическим числом) графа называется числовая характеристика графа, отражающая, есть ли у графа «узкое место» или нет. Константа Чигера как способ измерения наличия «узкого места» представляет интерес во многих областях, например, для создания сильно связанных компьютерных сетей, для тасования карт и в топологии малых размерностей (в частности, при изучении гиперболических 3-мерных многообразий[1]). Названа в честь математика Джефа Чигера[en].

Определение[править | править вики-текст]

Пусть — ненаправленный граф со множеством вершин и дуг . Пусть для набора вершин означает набор всех дуг, соединяющих вершин набора с вершинами, не принадлежащими [2]:

Напомним, что дуги не направлены, так что дуга — это та же дуга, что и .

Тогда константа Чигера графа (обозначается ) определяется как

Константа Чигера строго положительна тогда и только тогда, когда граф связен. Интуитивно понятно, что если константа Чигера мала, но положительна, в графе есть «узкое место», в том смысле, что имеются два «больших» множества вершин с «небольшим» числом связей (дуг) между ними. Константа Чигера «велика», если любое деление множества вершин на два подмножества оставляет «большое» число связей между этими подмножествами.

Пример: компьютерная сеть[править | править вики-текст]

Сеть компьютеров «кольцо»

Представим себе, что необходимо разработать сетевую конфигурацию, в которой константа Чигера велика (по меньшей мере, существенно отличается от нуля), даже если |V(G)| (число компьютеров в сети) велико.

Например, имеется N ≥ 3 компьютеров, объединённых в кольцо, образуя граф GN. Пронумеруем компьютеры числами 1, 2, ..., N в кольце по часовой стрелке. C математической точки зрения имеется граф с множеством вершин

и множество дуг

Возьмём в качестве множества A этих компьютеров, находящихся в цепочке:

Ясно, что

так что

при

Этот пример показывает верхнюю границу константы Чигера h(GN), и она стремится к нулю при стремлении N к бесконечности. Следовательно, мы можем рассматривать сеть компьютеров, объединённых в кольцо, как состоящую из сплошных «узких мест» для больших N, и это понятно в практическом смысле. Стоит одному компьютеру в кольце выйти из строя, и скорость обмена резко упадёт. При выходе из строя двух компьютеров сеть распадётся на две несвязанные части.

Неравенство Чигера[править | править вики-текст]

Константа Чигера особенно важна в контексте графов-экспандеров, поскольку служит мерилом охвата графа его дугами. Так называемое неравенство Чигера связано со спектральным зазором и содержит константу Чигера.

Смотрите также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Donetti, L., Neri, F., and Muñoz, M. Optimal network topologies: expanders, cages, Ramanujan graphs, entangled networks and all that // J. Stat. Mech. — 2006. — Т. 2006, вып. 08. — DOI:10.1088/1742-5468/2006/08/P08007.
  • Lackenby, M. Heegaard splittings, the virtually Haken conjecture and property (τ) // Invent. Math. — 2006. — Т. 164, вып. 2. — С. 317—359. — DOI:10.1007/s00222-005-0480-x.
  • Mark Lackenby Finite covering spaces of 3-manifolds // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Hyderabad, India. — 2010.
  • Alexander Lubotzky Expander Graphs in Pure and Applied Mathematics // This paper is based on notes prepared for the Colloquium Lectures at the Joint Annual Meeting of the American Mathematical Society (AMS) and the Mathematical Association of America (MAA). — 2011.