Конструктивный универсум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Конструктивным универсумом в теории множеств называется класс множеств, обозначаемый L и состоящий, неформально говоря, из множеств, которые можно определить с помощью формул в терминах более простых множеств. Все множества класса L образуют конструктивную иерархию, уровни которой индексируются ординалами. Данные термины были впервые введены Куртом Гёделем в 1938 году в работе "Непротиворечивость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы".[1] В этой работе было доказано, что конструктивный универсум является внутренней моделью[en] теории множеств ZF, а также что аксиома выбора и обобщенная континуум-гипотеза истинны в этой модели, то есть они не противоречат другим аксиомам ZF. Это было важным результатом, поскольку доказательство многих других теорем опирается на предположение об истинности аксиомы выбора или континуум-гипотезы.

Построение[править | править код]

L можно себе представить как поступенчато строящийся класс, по аналогии с универсумом фон Неймана (который обозначается V). Уровни построения L индексируются ординалами. В отличие от построения V, где на каждом уровне множество Vα+1 включает в себя все подмножества Vα, при построении L в множество Lα+1 включаются лишь те подмножества Lα, которые одновременно:

  • могут быть определены посредством формулы формального языка теории множеств;
  • в качестве параметров формулы используются лишь множества, построенные на предыдущих уровнях;
  • все кванторы в формуле понимаются как ограниченные по множеству Lα.

Более формально, обозначим

Тогда L определяется по трансфинитной рекурсии следующим образом:

  • Если — предельный ординал, то
  • , где Ord обозначает класс всех ординалов.

Если z является элементом Lα, то z = {y | y ∈ Lα and y ∈ z} ∈ Def (Lα) = Lα+1. Поэтому Lα является подмножеством Lα+1, которое является подмножеством булеана Lα. Следовательно, уровни конструктивной иерархии образуют цепочку вложенных друг в друга транзитивных множеств. Но вся совокупность этих множеств L является собственным классом.

Элементы L называются конструктивными множествами, а сам класс L называется конструктивным универсумом. Аксиома конструктивности[en], коротко записываемая "V=L", утверждает, что любое множество (из класса V) конструктивно, то есть лежит в классе L.

Примечания[править | править код]

  1. Gödel 1938.

Литература[править | править код]