Контактная структура

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Контактная структура — структура на гладком многообразии нечётной размерности , состоящая из гладкого поля касательных гиперплоскостей, удовлетворяющих формулируемому ниже условию невырожденности. Такая структура всегда существует на многообразии контактных элементов многообразия. Контактная структура тесно связана с симплектической и является её аналогом для нечётномерных многообразий.

Определение[править | править вики-текст]

Контактная структура на многообразии определяется заданием такой 1-формы , что

называется контактной формой. Контактная структура существует только на ориентируемом многообразии и определяет единственное векторное поле на такое, что

для любого векторного поля . Оно называется полем Риба.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Размерность контактного многообразия всегда нечётна.
  • На любом подмногообразии уровня гамильтониана, заданного на фазовом пространстве, возникает естественная контактная структура.

Симплектизация и контактизация[править | править вики-текст]

С каждым симплектическим 2n-мерным многообразием каноническим образом связано (2n+1)-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого (2n+1)-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся (2n+2)-мерным многообразием.

Почти контактная структура[править | править вики-текст]

Пусть  — нечётномерное гладкое многообразие .

Почти контактной структурой на многообразии называется тройка тензорных полей на этом многообразии, где  — дифференциальная 1-форма, называемая контактной формой структуры,  — векторное поле, называемое характеристическим,  — эндоморфизм , называемый структурным эндоморфизмом. При этом

Если, кроме того, на фиксирована риманова структура , такая что

четвёрка называется почти контактной метрической (или короче АС-) структурой. Многообразие, на котором задана (почти) контактная [метрическая] структура, называется, соответственно, (почти) контактным [метрическим] многообразием.

Литература[править | править вики-текст]

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия.