Континуум-гипотеза

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Конти́нуум-гипо́теза (проблема континуума, первая проблема Гильберта) — выдвинутое в 1877 году Георгом Кантором предположение о том, что любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным. Другими словами, гипотеза предполагает, что мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счётного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет, в частности, это предположение означает, что для любого бесконечного множества действительных чисел всегда можно установить взаимно-однозначное соответствие либо между элементами этого множества и множеством целых чисел, либо между элементами этого множества и множеством всех действительных чисел.

Первые попытки доказательства этого утверждения средствами наивной теории множеств не увенчались успехом, в дальнейшем показана невозможность доказать или опровергнуть гипотезу в аксиоматике Цермело — Френкеля (как с аксиомой выбора, так и без неё).

История[править | править вики-текст]

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга (англ.) доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC[1]. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причем оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов может выполняться равенство Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона (англ.).

Эквивалентные формулировки[править | править вики-текст]

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

  • Прямая может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четвёрки чисел не выполняется условие [2].
  • Плоскость может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой)[3].
  • Пространство можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям , и , соответственно, лишь в конечном числе точек[4].
  • Пространство можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка , что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через , лишь в конечном числе точек[5].

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала выполняется равенство или, другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество , найдётся подмножество, равномощное булеану [6].

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 году и Шпеккер в 1952 году, из неё следует аксиома выбора.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Пол Дж. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969. — С. 347.
  2. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1201/1201.1207v1.pdf  (англ.)
  3. Вацлав Серпинский. Cardinal And Ordinal Numbers. — Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1965.  (англ.)
  4. Вацлав Серпинский. О теории множеств. — М.: Просвещение, 1966.
  5. http://www.math.wisc.edu/~miller/old/m873-05/setplane.ps
  6. Континуума проблема / А. Г. Драгалин // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Литература[править | править вики-текст]

  • Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1970. — Вып. 9. — С. 248—261.
  • Манин Ю. И. Проблема континуума // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Новейшие достижения.». — 1975. — № 5. — С. 5—72. — ISSN 0202-747X.