Континуум-гипотеза

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую конти́нуум-гипо́тезу, которую можно сформулировать следующим образом:

Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.

Другими словами, мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.

История[править | править исходный текст]

Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.

В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга (англ.) доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC[1]. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причем оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.

В предположении отрицания континуум-гипотезы ZFC+\neg CH имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов \alpha может выполняться равенство \mathfrak c=\aleph_\alpha? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона (англ.).

Эквивалентные формулировки[править | править исходный текст]

Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

  • Прямая \R может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четверки чисел a, b, c, d не выполняется условие a + b = c + d.[2]
  • Плоскость \R^2 может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид y=f(x) (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или x=f(y) (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой).[3]
  • Пространство \R^3 можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям Ox, Oy и Oz, соответственно, лишь в конечном числе точек.[4]
  • Пространство \R^3 можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка P, что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через P, лишь в конечном числе точек.[5]

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Обобщённая континуум-гипотеза заключается в предположении, что для любого бесконечного кардинала \aleph_\alpha выполняется равенство 2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\alpha+1} или, другими словами, в любом множестве, превосходящем по мощности некоторое бесконечное множество S, найдётся подмножество, равномощное булеану 2S.[6]

Обобщённая континуум-гипотеза также не противоречит аксиоматике Цермело — Френкеля, и, как показали Серпинский в 1947 г. и Шпеккер в 1952 г., из неё следует аксиома выбора.

Литература[править | править исходный текст]

  • Катин Ю. Е. Из истории проблемы континуума // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1970. — В. 9. — С. 248—261.

Ссылки[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Пол Дж. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969. — С. 347.
  2. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/1201/1201.1207v1.pdf  (англ.)
  3. Вацлав Серпинский Cardinal And Ordinal Numbers. — Варшава: Polish Scientific Publishers, 1965.  (англ.)
  4. Вацлав Серпинский О теории множеств. — Москва: Просвещение, 1966.  (англ.)
  5. http://www.math.wisc.edu/~miller/old/m873-05/setplane.ps
  6. Континуума проблема. Проверено 30 января 2012.