Конциклические точки

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пересекающиеся в центре срединные перпендикуляры, проведённые к хордам круга, соединяющим всевозможные пары трёх конциклических точек
Четыре конциклические точки, являющиеся сторонами вписанного в окружность четырехугольника. На рис. показаны два равных угла

В геометрии конциклическими (или гомоциклическими) точками называют точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точек.[1]

Серединные перпендикуляры[править | править код]

В общем случае центр O окружности, на которой лежат точки P и Q, должен быть таким, чтобы расстояния OP и OQ были равны . Поэтому точка O должна лежать на срединном перпендикуляре (или на медиатрисе) отрезка PQ.[2]. Необходимым и достаточным условием того, чтобы n различных точек лежали на одной окружности является то, что n(n − 1)/2 медиатрис отрезков, имеющих своими концами любые пары из n точек, все одновременно пересекались в одной точке, а именно: в центре O.

Вписанные многоугольники[править | править код]

Треугольники[править | править код]

Вершины каждого треугольника лежат на окружности[3]. Окружность, проходящая через 3 вершины треугольника, называется описанной окружностью треугольника. Несколько других наборов точек, которые определяются из треугольника, также лежат на одной окружности, то есть являются конциклическими точками; см. Окружность Эйлера[4] и Окружность Лестера.[5]

Радиус окружности, на которой находятся множество точек, по определению, есть радиус описанной окружности любого треугольника с вершинами в любых трёх из этих точек. Если попарные расстояния между любыми тремя из этих точек a, b и c, то радиус окружности равен

Уравнение описанной окружности для треугольника, и выражение для радиуса и координат центра окружности через декартовы координаты вершин приведены здесь.

Четырехугольники[править | править код]

Четырехугольник ABCD с вершинами, лежащими на одной окружности, называется вписанным; это бывает тогда и только тогда, когда (по теореме о вписанном угле окружности), что выполняется если и только если противоположные углы четырёхугольника дополняют друг друга до 180 градусов.[6] Вписанный четырёхугольник с последовательными сторонами a, b, c, d и полупериметром s = (a+b+c+d)/2 имеет радиус описанной окружности, равный[7][8]

Это выражение было получено индийским математиком Ватассери Парамешвара[en] в XV веке.

По теореме Птолемея, четырёхугольник, заданный попарными расстояниями между его четырьмя вершинами A, B, C и D соответственно, будет вписанным тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

Если две прямые, одна из которых содержит отрезок AC, а другая содержит отрезок BD, пересекаются в одной точке «Х», то эти четыре точки A, B, C, D являются конциклическими точками тогда и только тогда, когда[9]

Точка пересечения X может быть как внутри, так и вне описанного круга. Эта теорема известна как теорема о степени точки.

n-угольники[править | править код]

В общем случае n-угольник, все вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным многоугольником. Многоугольник является вписанным многоугольником, если и только если все серединные перпендикуляры его сторон пересекаются в одной точке.[10]

Примечания[править | править код]

  1. Ефремов, 1902, с. 34.
  2. Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry, Jones & Bartlett Learning, с. 21, ISBN 9780763743666, <https://books.google.com/books?id=6YUUeO-RjU0C&pg=PA21> /
  3. Elliott, John (1902), Elementary Geometry, Swan Sonnenschein & co., с. 126, <https://books.google.com/books?id=9psBAAAAYAAJ&pg=PA126> .
  4. Isaacs, I. Martin (2009), Geometry for College Students, vol. 8, Pure and Applied Undergraduate Texts, American Mathematical Society, с. 63, ISBN 9780821847947, <https://books.google.com/books?id=0ahK8UneO3kC&pg=PA63> .
  5. Yiu, Paul (2010), "The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations", Forum Geometricorum Т. 10: 175–209, <http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201020.pdf> .
  6. Pedoe, Dan (1997), Circles: A Mathematical View (2nd ed.), MAA Spectrum, Cambridge University Press, с. xxii, ISBN 9780883855188, <https://books.google.com/books?id=rlbQTxbutA4C&pg=PR22> .
  7. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "On the diagonals of a cyclic quadrilateral", Forum Geometricorum Т. 7: 147–9, <http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200720.pdf> 
  8. Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette Т. 84 (499): 69–70 
  9. Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, с. 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422 
  10. Byer, Owen; Lazebnik, Felix & Smeltzer, Deirdre L. (2010), Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, с. 77, ISBN 9780883857632, <https://books.google.com/books?id=W4acIu4qZvoC&pg=PA77> .

Литература[править | править код]

  • Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902.