Кривая
Крива́я или ли́ния — геометрическое понятие, определяемое в разных разделах математики различно.
Элементарная геометрия
[править | править код]В рамках элементарной геометрии понятие кривой не получает отчётливой формулировки. Например, в «Началах» Евклида она определялась как «длина без ширины», также иногда её определяли как «границу фигуры».
По существу в элементарной геометрии изучение кривых сводится к рассмотрению примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность и др.). Не располагая общими методами, элементарная геометрия довольно глубоко проникла в изучение свойств конкретных кривых (конические сечения, некоторые алгебраические кривые высших порядков и некоторые трансцендентные кривые), применяя в каждом случае специальные приёмы.
Определение в топологии
[править | править код]Отображение отрезка
[править | править код]Чаще всего кривая определяется как непрерывное отображение из отрезка в топологическое пространство:
При этом кривые могут быть различными, даже если их образы совпадают. Такие кривые называют параметризованными кривыми или, если , путями.
Отношение эквивалентности
[править | править код]Иногда кривая определяется с точностью до репараметризации, то есть с точностью до минимального отношения эквивалентности такого, что параметрические кривые
- и
эквивалентны, если существует непрерывная монотонная функция (иногда неубывающая) из отрезка на отрезок , такая что
Определяемые этим отношением классы эквивалентности называются непараметризованными кривыми или просто кривыми.
Комментарий
[править | править код]Приведённое определение во многом позволяет передать наше интуитивное представление о кривой как о чём-то, «нарисованном без отрыва карандаша». Однако это определение является слишком слабым, поскольку ему удовлетворяют многие фигуры, которые трудно считать кривыми.
Например, возможно построить такое непрерывное отображение отрезка в плоскость, что его образ заполняет квадрат (см. кривая Пеано). Более того, согласно теореме Мазуркевича, любое компактное связное и локально связное топологическое пространство является непрерывным образом отрезка. Таким образом, не только квадрат, но и куб любого числа измерений и даже гильбертов кирпич являются непрерывными образами отрезка.
Вышеизложенное показывает, что кривая не может быть определена как непрерывный образ отрезка, если на отображение не наложить дополнительных ограничений.
Кривая Жордана
[править | править код]Кривой Жордана или простой кривой называется образ непрерывного инъективного отображения (вложения) окружности или отрезка в пространство. В случае окружности кривая называется замкнутой кривой Жордана, а в случае отрезка — жордановой дугой.
Известная теорема Жордана утверждает, что любая замкнутая кривая Жордана на плоскости делит её на «внутреннюю» и «внешнюю» часть.
Кривая Жордана является довольно сложным объектом. Например, возможно построить плоскую кривую Жордана с ненулевой мерой Лебега, что было сделано Осгудом[1] по аналогии с кривой Пеано.
Определение в анализе
[править | править код]В математическом анализе часто используется определение гладкой кривой. Определим сначала плоскую кривую (то есть кривую в ). Пусть и — функции на отрезке , непрерывно дифференцируемые на этом отрезке, и такие, что ни для какого t не равно нулю. Тогда отображение задаёт кривую, которая является гладкой; непараметризованная кривая называется гладкой, если она допускает такую параметризацию. Длину гладкой кривой можно вычислить по формуле
Это определение можно обобщить на отображения в другие пространства, а также на отображения другого класса гладкости, см. ниже.
Определение в дифференциальной геометрии
[править | править код]Если — гладкое многообразие, можно определить гладкую кривую на как гладкое отображение , дифференциал которого нигде не обращается в нуль. Если класс гладкости многообразия равен , то -кривая вводится как кривая, для которой — раз непрерывно дифференцируемое отображение. Если — аналитическое многообразие[англ.] (например, евклидово пространство) и — аналитическое отображение, кривую называют аналитической.
Гладкие кривые и называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм (замена параметра), такой что . Классы эквивалентности по этому отношению называют непараметризованными гладкими кривыми.
Алгебраические кривые
[править | править код]Алгебраические кривые изучаются в алгебраической геометрии. Плоская алгебраическая кривая — это множество точек с координатами , , задаваемое множество решений уравнения , где — многочлен от двух переменных с коэффициентами в поле . В алгебраической геометрии обычно принимают во внимание не только точки, координаты которых принадлежат , но и точки с координатами в алгебраическом замыкании . Если — плоская алгебраическая кривая, такая что коэффициенты определяющего её многочлена лежат в поле , она называется кривой, определённой над . Точки кривой, определённой над , все координаты которых принадлежат , называются рациональными над (или просто -точками). Пример: кривая , определённая над действительными числами, имеет точки, однако ни одна из них не является действительной точкой.
Алгебраические кривые можно определить и в пространствах большей размерности; они определяются как множество решений системы полиномиальных уравнений.
Любая плоская кривая может быть дополнена до кривой на проективной плоскости. Если плоская кривая определяется многочленом полной степени , то многочлен
после раскрытия скобок упрощается до однородного многочлена степени . Значения , , , такие что — однородные координаты пополнения плоской кривой, при этом точки исходной кривой — это точки, для которых не равно нулю. Пример: кривая Ферма в аффинной форме принимает вид . Процесс перехода от аффинной кривой к проективной можно обобщить и на более высокие размерности.
Часто встречающиеся примеры плоских кривых — коники (кривые второго порядка) и эллиптические кривые, имеющие важные приложения в криптографии. В качестве примеров алгебраических кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней, можно указать следующие:
- Кривые четвёртого порядка: лемниската Бернулли и овал Кассини.
- Кривые шестого порядка: астроида и нефроида.
- Кривая, определяемая уравнением произвольной чётной степени: (многофокусная) лемниската.
Трансцендентные кривые
[править | править код]Трансцендентные кривые — это кривые, не являющиеся алгебраическими. Более точно, трансцендентные кривые — кривые, которые можно задать как линию уровня аналитической, но не алгебраической функции (или, в многомерном случае, системы функций). Примеры трансцендентных кривых:
Типы кривых
[править | править код]- Замкнутая кривая — кривая, у которой начало совпадает с концом.
- Плоская кривая — кривая, все точки которой лежат в одной плоскости.
- Простая кривая — то же, что кривая Жордана.
- Путь — непрерывное отображение отрезка в топологическое пространство.
Типы точек на кривой
[править | править код]Обобщённые кривые
[править | править код]Более общее определение кривой для случая плоскости было дано Кантором в 1870-e годы:
Канторовой кривой называется компактное связное подмножество плоскости такое, что его дополнение всюду плотно.
Важный пример канторовой кривой доставляет ковёр Серпинского. Какова бы ни была канторова кривая , она может быть вложена в ковёр Серпинского, то есть в ковре Серпинского содержится подмножество , гомеоморфное . Таким образом ковёр Серпинского является универсальной плоской канторовой кривой.
Впоследствии это определение было обобщено Урысоном:
Кривой Урысона называется связное компактное топологическое пространство топологической размерности 1.
Ковёр Серпинского удовлетворяет этому определению, так что всякая канторова кривая является также и кривой Урысона. Обратно, если плоский связный компакт является кривой Урысона, то он будет канторовой кривой.
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ W. F. Osgood. A Jordan curve of positive area (англ.) // Trans. Am. Math. Soc.. — 1903. — Vol. 4. — P. 107–112.
Литература
[править | править код]- Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
- Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 496 с. — (Современная математика). — ISBN 5-93972-300-4.
- Математический энциклопедический словарь. М. «Советская энциклопедия», 1988 г.
- Кривые // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Ссылки
[править | править код]- Caustics (англ.)
- Surfaces, curves (англ.)
- специальные плоские кривые [1] (рус.)