Кривая Коха

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кривая Коха

Кривая Коха — фрактальная кривая, описанная в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом.

Три копии кривой Коха, построенные (остриями наружу) на сторонах правильного треугольника, образуют замкнутую кривую бесконечной длины, называемую снежинкой Коха.

Построение[править | править код]

Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. В результате образуется ломаная, состоящая из четырёх звеньев длины 1/3. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. д… Предельная кривая и есть кривая Коха.

Снежинка Коха

Свойства[править | править код]

  • Кривая Коха нигде не дифференцируема и не спрямляема.
  • Кривая Коха имеет бесконечную длину.
  • Кривая Коха не имеет самопересечений.
  • Кривая Коха имеет промежуточную (то есть не целую) хаусдорфову размерность, которая равна поскольку она состоит из четырёх равных частей, каждая из которых подобна всей кривой с коэффициентом подобия 1/3.

Вариации и обобщения[править | править код]

Возможны обобщения кривой Коха, также использующие при построении подстановку ломаной из четырёх равных отрезков, но имеющей иную геометрию. Они имеют хаусдорфову размерность от 1 до 2. В частности, если вместо деления отрезка 1:1:1 использовать золотое сечение (φ:1:φ), то получившаяся кривая имеет отношение к мозаикам Пенроуза.

Также можно построить «Снежинку Коха» на сторонах равностороннего трегоугольника.

Вслед за подходом Коха были разработаны варианты с прямыми углами (квадратичная), других углов (Césaro) или кругов и их расширения на высшие размерности (сферическая снежинка):

Вариант Иллюстрация Получение
1D, 85°, угол
Фрактал Cesaro
Фрактал Cesaro — вариант кривой Коха с углом между 60° и 90 ° (здесь 85°)
1D, 90°, угол
Квадратичная кривая 1 типа
Первые 2 итерации
1D, 90°, угол
Квадратичная кривая 2 типа
Первые 2 итерации. Фрактальная размерность 1,5 (точно посередине между размерностью 1 и 2), поэтому часто используется при изучении физических свойств нецелых фрактальных объектов
2D, треугольники
Поверхность Коха
Расширения кривой Коха на 3D (первые 3 итерации)
2D, 90°, угол
Квадратичная поверхность 1 типа
Расширение квадратичного кривой 1 типа, соответствующее «вывернутой губке Менгера»[1]. На изображении слева — фрактал после второй итерации
Квадратичная поверхность (анимация)
.
2D, 90°, угол
Квадратичная поверхность 2 типа
Расширение квадратичного кривой 2 типа. На изображении слева — фрактал после первой итерации
2D, сферы
Haines сферическая снежинка (большой зелёный объект)
Eric Haines разработал фрактал сферическая снежинка, который является трехмерной версией снежинки Коха (используются сферы)

Снежинка Коха[править | править код]

Kochsim.gif
Von Koch curve.gif

Снежинка Коха, построенная в виде замкнутой кривой на базе равностороннего треугольника, впервые была описана шведским математиком Хельге фон Кохом в 1904 году[2]. В некоторых работах она получила название «остров Коха»[3].

Было доказано, что эта фрактальная кривая обладает рядом любопытных свойств. К примеру, длина её периметра равна бесконечности, что, однако, не мешает ему охватывать конечную площадь, величина которой равна 8/5 площади базового треугольника[4]. Вследствие этого факта некоторые прикладные методики и параметры плоских фигур, такие как, например, краевой индекс (отношение периметра к корню из площади), при работе со снежинкой Коха оказываются неприменимыми[3].

Вычисление фрактальной размерности снежинки Коха даёт значение, приблизительно равное 1,2619[2][3].

Возможно также построение так называемой антиснежинки Коха, алгоритм генерирования которой заключается в вырезании на каждом этапе всё новых и новых треугольников из исходного. Иными словами рёбра базовой формы модифицируются внутрь, а не наружу. В результате полученная фигура охватывает бесконечное множество несвязанных областей, суммарная площадь которых равна 2/5 от площади треугольника нулевой итерации[4].

Примечания[править | править код]

  1. Baird, Eric. Alt.Fractals: A visual guide to fractal geometry and design. Chocolate Tree Books (2011) ISBN 0-9557068-3-1 — Chapter 3 «Not the Koch Snowflake», esp. pages 23-24
  2. 1 2 E. Seligman. Between the Dimensions (From Math Mutation podcast 22) // Math Mutation Classics. Exploring Interesting, Fun and Weird Corners of Mathematics. — Hillsboro, Oregon, USA: APRESS, 2016. — P. 53. — ISBN 978-1-4842-1891-4. — DOI:10.1007/978-1-4842-1892-1.
  3. 1 2 3 Гелашвили Д. Б., Иудин Д. И., Розенберг Г. С., Якимов В. Н., Солнцев Л. А. 2.3. Регулярные фракталы // Фракталы и мультифракталы в биоэкологии. — Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2013. — С. 49. — 370 с. — ISBN 978-5-91326-246-2.
  4. 1 2 А. А. Потапов, Ю. В. Гуляев, С. А. Никитов, А. А. Пахомов, В. А. Герман. Классические фрактальные кривые и множества // Новейшие методы обработки изображений / А. А. Потапов. — М.: «Физматлит», 2008. — С. 82. — 496 с. — ISBN 978-5-9221-0841-6.

Ссылки[править | править код]