Кривая погони

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Кривая погони при различных параметрах
Простая кривая погони

Кривая погони — кривая, представляющая собой решение задачи о «погоне», которая ставится следующим образом. Пусть точка M равномерно движется по некоторой заданной кривой. Требуется найти траекторию равномерного движения точки N такую, что касательная, проведённая к траектории в любой момент движения, проходила бы через соответствующее этому моменту положение точки M.

История[править | править вики-текст]

Задача о кривой погони поставлена Леонардо да Винчи и решена Бугером в 1732 году.

Общий случай постановки задачи[править | править вики-текст]

Чтобы вывести уравнение линии, выберем системы координат, в которой ось абсцисс проходит через начальное положение точек P и A, и точка A находится в начале системы координат xAy. Отношение постоянных скоростей точек обозначим через k.

Если допустить, что за бесконечно малый промежуток времени точка P прошла расстояние dS, а точка A — расстояние dS_1, то , согласно поставленному выше условию, получим соотношение dS = k dS_1, или

 \sqrt {dx^2 + dy^2} = k \sqrt {d\xi ^2 + d \eta ^2}. (1)

Далее следует выразить d\xi и d\eta через x, y и их дифференциалы. По условию, координаты точки P должны удовлетворять уравнению касательной к искомой кривой, то есть

\eta - y = \frac {dy}{dx}(\xi - x).

Добавляя к этосу уравнению заданное условием уравнение траектории F (\xi, \eta) движения «убегающего», можно определить из полученной системы уравнения \xi и \eta. После подстановки этих значений в дифференциальное уравнение (1) оно запишется в виде

\Phi \left(x, y, \frac {dy}{dx}, \frac {d^2y}{dx^2}\right) = 0 .

Постоянные интегрирования могут быть найдены из начальных условий (y = 0; y' = 0 при x = 0).

В общем случае для произвольно заданной кривой F(\xi, \eta) найти решение полученного уравнения достаточно сложно. Задача существенно упрощается, если рассмотреть простейший случай, когда траектория "убегающего" является прямой.

Простая кривая погони[править | править вики-текст]

Простая кривая погони получается в простом случае, когда преследуемая точка движется по прямой линии. Впервые её описал Пьер Бугер в 1732 году. Позднее Пьер Луи де Мопертюи рассмотрел кривую погони для других случаев.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть A_0 точка старта объекта преследования, а P_0 — стартовая точка преследователя. Пусть точка A движется равномерно со скоростью V = const в каком-нибудь определённом направлении, а точка P движется со скоростью W = const, всегда направленной к точке A. Траектория точки P является простой кривой погони.

Уравнение в декартовых координатах[править | править вики-текст]

Пусть k = \tfrac{V}{W}

Пусть A_0 = (0,0), P_0 = (1,0), и точка A движется вдоль оси y. Тогда

 y(x) = {1 \over 2} \left( { {1-x^{(1-k)}} \over (1-k) } -{ {1-x^{(1+k)}} \over { (1+k)} } \right) для k\ne 1
 y(x) = {1 \over 4} \cdot \left( {x^2} -\ln {x^2} -1 \right) для k=1\;

Практическое применение[править | править вики-текст]

Задача построения кривой погони впервые встала при выборе курса судна с учётом внешних факторов (боковых ветров, течения) для оптимального достижения точки цели путешествия.

Вновь эта проблема возникла при использовании в военных целях подводных лодок, торпед, а позднее и управляемых ракет с целью достижения и поражения движущихся целей. Кроме того, кривая погони применяется в космической навигации.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • В более широком понимании равномерности движения точки N не требуется, и именно в таком понимании является кривой погони Трактриса.