Критерий Фридмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Критерий Фридмана[1] (англ. Friedman test) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления условий измерения () для объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений[2]. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.

Задача[править | править вики-текст]

Дана выборка из измерений для каждого из испытуемых, которую можно представить в виде таблицы[2][3]:

Условия
№ объекта

В качестве нулевой гипотезы рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия»[2]. Выбирается уровень значимости , например, (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы[править | править вики-текст]

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги объекта при ранжировке [3]:

Ранги
№ объекта

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:

,

которую можно записать также в виде:

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

Для малых значений и для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости (или доверительной вероятности[3] ).

При и применима аппроксимация — -квантиль распределения хи-квадрат с степенями свободы[3]:

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации -квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта[3].

Примеры[править | править вики-текст]

Классические примеры применения:

  • дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
  • Сварные швы, сделанные сварщиками с использованием сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ[править | править вики-текст]

Апостериорный анализ (англ. post-hoc analysis) был предложен Шайхом и Хамерли (1984)[4], а также Коновер (1971, 1980)[5] для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов[6].

Программная реализация[править | править вики-текст]

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R[7] и других[8]).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS[9] и R[10].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кобзарь А. И. («Прикладная математическая статистика») называет этот критерий критерием Фридмена-Кендалла-Бэбингтона Смита
  2. 1 2 3 Афанасьев, Сивов, 2010.
  3. 1 2 3 4 5 Кобзарь, 2006.
  4. Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berlin: Springer. ISBN 3-540-13776-9.
  5. Conover, W. J. (1971, 1980). Practical nonparametric statistics. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3.
  6. Bortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-67590-6.
  7. Friedman Rank Sum Test
  8. Friedman's test
  9. Post-hoc comparisons for Friedman test
  10. Post hoc analysis for Friedman’s Test (R code)

Литература[править | править вики-текст]

  • Афанасьев В. В., Сивов М. А. Математическая статистика в педагогике. — Ярославль: Издательство ЯГПУ, 2010. — С. 63-65. — 76 с. — ISBN 978-5-87555-366-0.
  • Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. — М.: Физматлит, 2006. — С. 484-486. — 816 с. — ISBN 5-9221-0707-0.
  • Myles Hollander, Douglas A. Wolfe. Nonparametric Statistical Methods. — New York: John Wiley & Sons, 1973. — 503 с. — P. 139–146. — ISBN 9780471406358.
  • Friedman, Milton (December 1937). «The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance». Journal of the American Statistical Association (American Statistical Association) 32 (200): 675–701. DOI:10.2307/2279372.
  • Friedman, Milton (March 1939). «A correction: The use of ranks to avoid the assumption of normality implicit in the analysis of variance». Journal of the American Statistical Association (American Statistical Association) 34 (205): 109. DOI:10.2307/2279169.
  • Friedman, Milton (March 1940). «A comparison of alternative tests of significance for the problem of m rankings». The Annals of Mathematical Statistics 11 (1): 86–92. DOI:10.1214/aoms/1177731944.