Критерий Фридмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Критерий Фридмана[1] (англ. Friedman test) — непараметрический статистический тест, разработанный американским экономистом Милтоном Фридманом. Является обобщением критерия Уилкоксона и применяется для сопоставления условий измерения () для объектов (испытуемых) с ранжированием по индивидуальным значениям измерений[2]. Непараметрический аналог дисперсионного анализа с повторными измерениями ANOVA.

Задача[править | править код]

Дана выборка из измерений для каждого из испытуемых, которую можно представить в виде таблицы[2][3]:

Условия
№ объекта

В качестве нулевой гипотезы рассматривается следующая: «между полученными в разных условиях измерениями имеются лишь случайные различия»[2]. Выбирается уровень значимости , например, (вероятность ошибочно отклонить нулевую гипотезу).

Проверка гипотезы[править | править код]

Для начала получим таблицу рангов по строкам, при котором получаем ранги объекта при ранжировке [3]:

Ранги
№ объекта

Получим суммы рангов и введём другие обозначения:

Для проверки гипотезы будем использовать эмпирическое значение критерия — статистику:

,

которую можно записать также в виде:

Нулевая гипотеза принимается, если критическое значение критерия превосходит эмпирическое:

Для малых значений и для критического значения Фридмана существуют таблицы для разных значений уровня значимости (или доверительной вероятности[3] ).

При и применима аппроксимация — -квантиль распределения хи-квадрат с степенями свободы[3]:

Для некоторых малых значений статистику можно преобразовать для аппроксимации -квантилью распределения Фишера или применить статистику Имана-Давенпорта[3].

Примеры[править | править код]

Классические примеры применения:

  • дегустаторов оценивают различные сорта вин. Имеют ли вина значимые отличия?
  • Сварные швы, сделанные сварщиками с использованием сварочных горелок, были оценены по качеству. Есть ли отличия в качестве у какой-либо из горелок?

Апостериорный анализ[править | править код]

Апостериорный анализ (англ. post-hoc analysis) был предложен Шайхом и Хамерли (1984)[4], а также Коновер (1971, 1980)[5] для определения того, какие условия существенно отличаются друг от друга, на основании различия их средних рангов[6].

Программная реализация[править | править код]

Тест Фридмана содержится во многих пакетах программ для статистической обработки данных (SPSS, R[7] и других[8]).

Не все статистические пакеты поддерживают апостериорный анализ для теста Фридмана, но программный код можно найти, например, для SPSS[9] и R[10].

Примечания[править | править код]

  1. Кобзарь А. И. («Прикладная математическая статистика») называет этот критерий критерием Фридмена-Кендалла-Бэбингтона Смита
  2. 1 2 3 Афанасьев, Сивов, 2010.
  3. 1 2 3 4 5 Кобзарь, 2006.
  4. Schaich, E. & Hamerle, A. (1984). Verteilungsfreie statistische Prüfverfahren. Berlin: Springer. ISBN 3-540-13776-9.
  5. Conover, W. J. (1971, 1980). Practical nonparametric statistics. New York: Wiley. ISBN 0-471-16851-3.
  6. Bortz, J., Lienert, G. & Boehnke, K. (2000). Verteilungsfreie Methoden in der Biostatistik. Berlin: Springer. ISBN 3-540-67590-6.
  7. Friedman Rank Sum Test
  8. Friedman's test
  9. Post-hoc comparisons for Friedman test (недоступная ссылка). Дата обращения: 10 ноября 2012. Архивировано 3 ноября 2012 года.
  10. Post hoc analysis for Friedman’s Test (R code)

Литература[править | править код]