Критерий знаков

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математической статистике критерий знаков используется при проверке нулевой гипотезы о равенстве медианы некоторому заданному значению (для одной выборки) или о равенстве нулю медианы разности (для двух связанных выборок).[1] Это непараметрический критерий, то есть он не использует никаких данных о характере распределения, и может применяться в широком спектре ситуаций, однако при этом он может иметь меньшую мощность, чем более специализированные критерии.

Описание метода для двух выборок[править | править вики-текст]

Рассмотрим две непрерывно распределенные случайные величины X и Y, и пусть нулевая гипотеза выполняется, то есть медиана их разности равна нулю. Тогда . Иными словами, каждая из случайных величин равновероятно больше другой.

Рассмотрим пару связных выборок . Будем считать, что в выборке нет элементов, для которых (иначе уберем эти элементы из выборки). Построим статистику w, равную числу элементов в выборке, при которых . При выполнении нулевой гипотезы, эта величина имеет биномиальное распределение: .

Для применения критерия необходимо вычислить «левый хвост» биномиального распределения до w: . Согласно критерию, при уровне значимости :

  • против двусторонней альтернативной гипотезы
если , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы
если , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы
если , то нулевая гипотеза отвергается;

Пример задачи[править | править вики-текст]

Первая выборка — это значения некоторой характеристики состояния пациентов, записанные до лечения. Вторая выборка — это значения той же характеристики состояния тех же пациентов, записанные после лечения.

Порядок элементов (в данном случае пациентов) в выборках и объёмы выборок обязаны совпадать. Такие выборки и называются связанными.

Требуется выяснить, является ли лечение эффективным, то есть имеется ли значимое отличие в состоянии пациентов до и после лечения, или различия чисто случайны.

Заданы две выборки одинаковой длины .

Дополнительные предположения:

  • обе выборки простые;
  • выборки связные, то есть элементы соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза .

Если в выборке имеются случаи , то их следует исключить из выборки, уменьшив число наблюдений. Статистика критерия — это число w элементов в выборке, при которых .

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. The Sign Test for a Median // STAT 415 Intro Mathematical Statistics. Penn State University.