Критическая точка (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Критической точкой дифференцируемой функции f:D\to\R, где D\, — область в \R^n, называется точка, в которой все её частные производные обращаются в ноль. Это условие эквивалентно обращению в ноль дифференциала функции в данной точке, а также равносильно горизонтальности касательной гиперплоскости к графику функции. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы внутренняя точка области могла быть точкой локального минимума или максимума дифференцируемой функции.

Значение функции в критической точке называется критическим значением. Согласно лемме Сарда, множество критических значений любой \,C^1-гладкой функции f: [a,b] \to\R имеет нулевую меру Лебега (хотя критических точек при этом может быть сколько угодно, например, для функции f=const любая точка является критической).

Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений f:\R^n\to\R^m, и на случай дифференцируемых отображений произвольных многообразий f:N^n\to M^m. В этом случае определение критической точки состоит в том, что ранг матрицы Якоби отображения f в ней меньший максимального (равного числу \min \{n,m\}).

Критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория устойчивости, а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф.

Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов, определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления. Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями.

Формальное определение[править | править исходный текст]

Критической точкой (или особой точкой) непрерывно дифференцируемой функции (отображения) f: \R^n\to\R^m называется такая точка x_0 \in \R^n, в которой дифференциал f_*=\frac{\partial f}{\partial x} является вырожденным линейным преобразованием соответствующих касательных пространств в точках x_0 и f(x_0), то есть размерность образа f_* меньше \min \{n,m\}. В координатной записи это означает что якобиан (определитель матрицы Якоби функции f, составленной из всех частных производных \frac{\partial f_j}{\partial x_i}(x_0)) равен нулю.

Пространства \R^n и \R^m в этом определении могут быть заменены на многообразия N^n и M^m таких же размерностей.
В случае когда функция является непрерывно дифференцируемой множество стационарных точек совпадает со множество критических точек, в противном случае множество критических точек шире.

Случай m=1[править | править исходный текст]

В случае m=1 данное определение означает, что градиент \nabla f = (f'_{x_1}, \ldots, f'_{x_n}) в данной точке обращается в нуль. В простейшем случае n=m=1 это значит, что производная f' в данной точке равна нулю.

Критическая точка называется невырожденной, если в ней гессиан \Bigl|\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr| отличен от нуля. Если f имеет класс гладкости не ниже C^3, то в окрестности невырожденной критической точки существуют координаты, в которых функция f(x) имеет квадратичную нормальную форму (лемма Морса).

При m=1 имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция f, определенная во всем пространстве \R^n или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица \Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr), i,j=1,\ldots,n, в ней должна быть отрицательно (положительно) определённой. Последнее является также достаточным условием локального максимума (минимума).

Случай постоянного ранга[править | править исходный текст]

Если в любой точке x \in \R^n, принадлежащей некоторой окрестности x_0, ранг функции f равен одному и тому же числу r, то есть ранг линейного преобразования f_* соответствующих касательных пространств в точках x и f(x) равен r, то в окрестности точки x_0 существуют локальные координаты (x_1, \ldots, x_n) с центром в x_0, а в окрестности точки f(x_0) существуют локальные координаты (y_1, \ldots, y_m) с центром в f(x_0), такие, что функция f в них задается соотношениями


y_1=x_1, \ \ldots, \ y_r=x_r, \ y_{r+1}=0, \ \ldots, \ y_m=0.

Литература[править | править исходный текст]

  • Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.
  • Брёкер Т., Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы, — Любое издание.

См. также[править | править исходный текст]