Круговая орбита

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Круговая орбита представлена в верхнем левом углу диаграммы. Гравитационный колодец центральной массы показывает потенциальную энергию; красным цветом показана кинетическая энергия. Высота области кинетической энергии остаётся постоянной при движении по окружности с постоянной скоростью.

Круговая орбита — орбита, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центральной точки, создаваемая обращающимся вокруг неподвижной оси телом. Может рассматриваться как частный случай эллиптической орбиты при нулевом эксцентриситете. В Солнечной системе почти круговые орбиты у Венеры (эксцентриситет 0,0068) и Земли (эксцентриситет 0,0167).

Далее будет рассматриваться понятие круговой орбиты в астродинамике и небесной механике. Центростремительной силой является гравитационная сила. Указанная выше неподвижная ось проходит через притягивающий центр перпендикулярно плоскости орбиты.

Для данной орбиты не только расстояние от центра, но и линейная скорость, угловая скорость, потенциальная и кинетическая энергии являются постоянными. Перицентра и апоцентра нет. У круговой орбиты нет аналога среди радиальных траекторий.

Ускорение на круговой орбите[править | править код]

Трансверсальное ускорение (перпендикулярное скорости) изменяет направление вектора скорости. Если оно постоянно по величине и меняется вместе с направлением скорости, то мы имеем круговое движение. Выполняется следующее равенство:

где

  •  — орбитальная скорость обращающегося тела,
  •  — радиус круговой орбиты,
  •  — угловая скорость, измеряемая в радианах в единицу времени.

Если единицей измерения выбрать метры, делённые на секунду в квадрате, то единицей измрения будут метры в секунду,  — метры,  — радианы в секунду

Скорость[править | править код]

Относительная скорость является постоянной:

где

  • G — гравитационная постоянная,
  • M — сумма масс обоих тел (M1+M2), хотя на практике, если масса одного из компонентов значительно превышает массу второго, то массой второго тела пренебрегают, что несильно сказывается на результате,
  •  — гравитационный параметр.

Уравнение движения[править | править код]

Уравнение орбиты в полярных координатах, показывающее в общем случае связь r и θ, упрощается до вида

где

  •  — угловой момент обращающегося тела, приходящийся на единицу массы.

.

Угловая скорость и орбитальный период[править | править код]

следовательно орбитальный период () можно вычислить как

Сравним две пропорциональные величины, время свободного падения (время падения на точечную массу из положения в состоянии покоя)

(17.7 % периода обращения по круговой орбите)

и время падения на точечную массу по радиальной параболической траектории

(7.5 % периода обращения по круговой орбите).

Тот факт, что формулы отличаются только константой, можно вывести из анализа размерностей.

Энергия[править | править код]

Орбитальная энергия (), рассчитанная на единицу массы, отрицательна,

Следовательно, теорему о вириале можно применить даже без усреднения по времени:

  • кинетическая энергия системы равна по модулю полной энергии,
  • потенциальная энергия равна удвоенному значению полной энергии.

Скорость убегания равна круговой скорости, умноженной на √2: в таком случае сумма кинетической и потенциальной энергии обратится в ноль.

Орбитальная скорость в общей теории относительности[править | править код]

В метрике Шварцшильда орбитальная скорость для круговой орбиты радиуса определяется следующим выражением:

где  — радиус Шварцшильда центрального тела.

Вывод уравнения[править | править код]

Для удобства будем использовать единицы измерения, в которых .

4-вектор скорости для тела на круговой орбите задаётся выражением

( постоянно на круговой орбите, координаты можно выбрать таким образом, что ). Точка над символом переменной обозначает производную по собственному времени .

Для массивной частицы компоненты 4-вектора удовлетворяют уравнению

Используем уравнение геодезической линии:

Единственное нетривиальное уравнение при :

Отсюда получаем

Подставляем данное выражение в уравнение для массивной частицы:

Следовательно

Предположим, что наблюдатель находится на радиуса и не движется относительно центрального тела, то есть его 4-вектор скорости пропорционален вектору .

Произведение 4-векторов скорости наблюдателя и обращающегося тела приводит к выражению

Отсюда получаем выражение для скорости:

или, в единицах СИ,

Примечания[править | править код]