Круговой многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Круговой многочлен, или многочлен деления кругамногочлен вида

где

представляет собой корень степени из единицы, а произведение берётся по всем натуральным числам , меньшим и взаимно простым с .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Коэффициенты кругового многочлена являются целыми числами.
  • Степень кругового многочлена , где функция Эйлера.
  • Круговой многочлен удовлетворяет соотношению
где произведение берется по всем положительным делителям числа , включая единицу и само . Это равенство можно переписать в следующем виде:
  • Для многочлена можно указать явное выражение через функцию Мёбиуса:
  • Частный случай предыдущей формулы: если простое число, то
  • Если , где — нечётное число, то:
  • Если - максимальное натуральное число, делящее , и свободное от квадратов, и , то
  • Над полем рациональных чисел все многочлены неприводимы, но над конечными простыми полями эти многочлены могут быть приводимы.Так, если - простое число, то по модулю многочлен разлагается на линейные множители, а многочлен раскладывается в произведение (различных) многочленов степени 2 (неприводимых над кольцом ), со свободными членами, равными 1.
    • Например:
  • Более общим является следующий факт: Если p - простое число, n - натуральное, то многочлен по модулю p раскладывается в произведение многочленов степени n. Если ещё и n - простое, то многочлены степени n, участвующие в разложении, неприводимы над кольцом .

Примеры[править | править вики-текст]

Приведём сводку первых 30 круговых многочленов[1].

Из этой сводки можно сделать вывод, что коэффициенты кругового многочлена всегда равны но это предположение неверно. Первый контрпример даёт 105-й многочлен:

Приложения[править | править вики-текст]

Одним из важнейших приложений круговых многочленов является теорема о мультипликативной группе конечного поля:

Теорема. Мультипликативная группа конечного поля является циклической группой.

Доказательство. Пусть поле состоит из элемента, тогда его мультипликативная группа (группа обратимых элементов) содержит все элементы поля, кроме нуля, то есть состоит из элементов. По теореме Лагранжа порядок элемента группы делит порядок этой группы, следовательно, для любого элемента выполнено , то есть все элементы из являются корнями уравнения . Тогда

,

так как все корни левой части являются корнями правой части и степени и старшие члены обоих многочленов равны.

Так как

и ,

то многочлен имеет ровно корней в (и, значит, хотя бы один). Его корни являются элементами группы порядка , то есть циклическая группа, образованная любым из них, содержит различных элементов и должна совпадать со всей группой , откуда следует цикличность этой группы.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]