Круговой многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Круговой многочлен, или многочлен деления кругамногочлен вида

где

представляет собой корень степени из единицы, а произведение берётся по всем натуральным числам , меньшим , и взаимно простым с .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Степень кругового многочлена , где функция Эйлера.
  • Круговой многочлен удовлетворяет соотношению
где произведение берется по всем положительным делителям числа , включая единицу и само . Это можно переписать как
  • Для многочлена можно указать явное выражение через функцию Мёбиуса:
  • В частности, если — простое, то
  • Коэффициенты кругового многочлена являются целыми числами.
  • Над полем рациональных чисел все многочлены неприводимы, но над конечными простыми полями эти многочлены могут быть приводимы.
    • Например: над полем вычетов по модулю 11 имеет место соотношение:

Примеры[править | править вики-текст]

Приведём сводку первых 30 круговых многочленов[1].

Из этой сводки можно сделать вывод, что коэффициенты кругового многочлена всегда равны но это предположение неверно. Первый контрпример даёт 105-й многочлен:

Если простое число, то:

Если где — нечётное простое число, то:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]